[논문 리뷰] The sharp bounds of the second and third Hankel determinants for the class SL^*

Shagun Banga, S. Sivaprasad Kumar|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 06.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 베르누이의 오른쪽 렘니스케이트와 관련된 별형 함수의 클래스 $ \mathcal{SL}^* $에 대해 제2 하 Hankel 행렬식 $ H_2(3) = a_3a_5 - a_4^2 $ 과 제3 하 Hankel 행렬식 $ H_3(1) $에 대한 날카로운 경계를 확립한다. 계수 추정과 캐라테오도리 함수 표현을 사용하여 $ |H_2(3)| \leq \frac{1}{36} $ 과 $ |a_3^2 - a_5| \leq \frac{1}{8} $ 를 증명하며, 이 두 경계는 날카로우며 이 클래스에 대한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The aim of the present paper is to obtain the sharp bounds of the Hankel determinants H_2(3) and H_3(1) for the well known class SL^* of starlike functions associated with the right lemniscate of Bernoulli. Further for n=3, we find the sharp bound of the Zalcman functional for the class SL^*. In addition, a couple of interesting results of SL^* is appended at the end.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 함수론에서 여전히 열려 있는 문제인 클래스 $ \mathcal{SL}^* $에 대해 제2 하 Hankel 행렬식 $ H_2(3) $ 의 날카로운 상계를 결정하는 것.
• 잘츠만 함수성 $ |a_3^2 - a_5| $ 에 대한 날카로운 경계를 $ \mathcal{SL}^* $ 에 대해 확립하는 것. 이는 잘츠만 추측의 $ n=3 $ 에 해당한다.
• 초기 계수와 관련 함수성의 정밀한 추정이 필요한 제3 하 Hankel 행렬식 $ H_3(1) $ 의 날카로운 경계를 계산하는 것.
• 특정 커널 함수와의 콘볼루션을 이용한 함수가 $ \mathcal{SL}^* $ 에 속하는 데 필요한 필수 및 필요 충분 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• $ f(z)/z $ 의 로그 도함수를 통한 캐라테오도리 계수 $ p_n $ 에 대한 계수 $ a_n $ 의 표현.
• $ p_1, p_2, p_3, p_4 $ 에 대한 $ H_2(3) $ 의 표현을 위한 기능 $ F(x,y,z) $ 의 사용 및 매개변수 범위에서의 최적화.
• 식의 절대값을 유계화하기 위해 레마 1.2 를 적용하여 $ a_n $ 를 $ p_n $ 에서 유도한 계수를 사용하는 $ a_3^2 - a_5 $ 의 표현.
• $ t \in (0,2) $ 에 대해 $ S(t) = \sqrt{t} + i\sqrt{\sqrt{1+4t} - (t+1)} $ 를 통한 오른쪽 렘니스케이트 $ \gamma_1 $ 의 경계의 매개변수화.
• $ f \in \mathcal{SL}^* $ 이 되기 위한 조건이 $ \Delta $ 내에서 $ \frac{1}{z}(f * H_t)(z) \neq 0 $ 임을 정의하는 콘볼루션 커널 $ H_t(z) $ 의 정의.
• 극값 함수를 구성함으로써 날카로움을 검증하는 것. 예를 들어 $ f(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sqrt{1+t^4}-1}{t} dt\right) $ 는 경계에 도달한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래스 $ \mathcal{SL}^* $ 에서 제2 하 Hankel 행렬식 $ H_2(3) $ 의 날카로운 상계는 무엇인가요?
• RQ2 $ \mathcal{SL}^* $ 의 함수들에 대해 잘츠만 함수성 $ |a_3^2 - a_5| $ 의 날카로운 경계는 무엇인가요?
• RQ3 클래스 $ \mathcal{SL}^* $ 에서 제3 하 Hankel 행렬식 $ H_3(1) $ 의 날카로운 경계는 무엇인가요?
• RQ4 특정 커널 함수와의 콘볼루션을 이용한 함수가 $ \mathcal{SL}^* $ 에 속하는 데 필요한 필수 및 필요 충분 조건은 무엇인가요?
• RQ5 $ |\alpha| \leq \frac{1}{4} $ 인 경우 함수 $ \Theta(z) = \frac{z}{1 - \alpha z} $ 는 $ \mathcal{SL}^* $ 에 속하는가요?

주요 결과

• 제2 하 Hankel 행렬식의 날카로운 경계는 $ |H_2(3)| \leq \frac{1}{36} $ 이며, $ a_3 = a_5 = 0 $, $ a_4 = \frac{1}{6} $ 인 함수 $ f(z) = z + \frac{z^5}{6} + \cdots $ 에 의해 달성된다.
• 잘츠만 함수성의 날카로운 경계는 $ |a_3^2 - a_5| \leq \frac{1}{8} $ 이며, 극값 함수 $ f(z) = z + \frac{z^5}{8} + \cdots $ 에 의해 등호가 성립한다. 이 경우 $ a_3 = 0 $, $ a_5 = \frac{1}{8} $ 이다.
• 제3 하 Hankel 행렬식 $ H_3(1) $ 의 날카로운 경계는 $ a_2, a_3, a_4, a_5 $, $ H_2(2) $, 그리고 $ L = |a_4 - a_2 a_3| $ 의 정밀한 추정을 통해 유도되며, 본문에서는 단일 숫자로 정확한 값이 명시되어 있지 않다.
• $ f \in \mathcal{S} $ 가 $ \mathcal{SL}^* $ 에 속하기 위한 필요 및 충분 조건은 $ H_t(z) $ 가 렘니스케이트 경계 $ S(t) $ 를 매개변수화함으로써 정의된 바, $ \Delta $ 내 모든 $ z $ 에 대해 $ \frac{1}{z}(f * H_t)(z) \neq 0 $ 이다.
• 함수 $ \Theta(z) = \frac{z}{1 - \alpha z} $ 는 $ |\alpha| \leq \frac{1}{4} $ 일 때에만 $ \mathcal{SL}^* $ 에 속한다. 이는 조건을 만족할 때 $ \left| \left( \frac{1}{1 - \alpha z} \right)^2 - 1 \right| < 1 $ 이 성립함을 보여서 확인된다.
• 극값 함수 $ f(z) = z \exp\left( \int_0^z \frac{\sqrt{1 + t^4} - 1}{t} dt \right) $ 는 $ |a_3^2 - a_5| $ 의 날카로운 경계를 달성함을 보여, 부등식의 날카로움을 확인한다.