[논문 리뷰] The signature package on Witt spaces, I. Index classes

Pierre Albin, Éric Leichtnam외 2명|ArXiv.org|2009. 06. 08.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 40인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 위트 공간—위트 조건을 만족하는 계층적 유클리드 다각형—에서의 서명 패키지에 대한 해석적 기초를 구축한다. 이는 $C^*_r\widetilde{\rho}$-미시첸코 번들의 값들을 취하는 서명 연산자에 대한 파라메트릭스를 구성함으로써 이루어지며, 본질적으로 자기수반성, 이산적이고 유한 다중도 스펙트럼, 그리고 메트릭 선택에 관계없이 정의된 해석적 서명 클래스가 존재함을 증명한다. 이 클래스는 어셈블리 맵과 카스파로프 프로덕트 구조와의 호환성을 확인한다.

ABSTRACT

We give a parametrix construction for the signature operator on any compact, oriented, stratified pseudomanifold X which satisfies the Witt condition. This construction is inductive. It is then used to show that the signature operator is essentially self-adjoint and has discrete spectrum of finite multiplicity, so that its index -- the analytic signature of X -- is well-defined. We then show how to couple this construction to a C^*_r(Gamma) Mischenko bundle associated to any Galois covering of X with covering group Gamma. The appropriate analogues of these same results are then proved, and it follows that we may define an analytic signature class as an element of the K-theory of C^*_r(Gamma). In a sequel to this paper we establish in this setting the full range of conclusions for this class which sometimes goes by the name of the signature package.

연구 동기 및 목표

• 정적이고, 방향이 주어진, 위트 조건을 만족하는 계층적 유클리드 다각형에서의 해석적 서명 클래스를 수립하기 위해.
• 이러한 공간에서 서명 연산자가 본질적으로 자기수반적이며, 이산적이고 유한 다중도 스펙트럼을 가짐을 증명하기 위해.
• 갈로아 피복에 대해 $C^*_r\Gamma$-미시첸코 번들의 값으로 뒤집힌 서명 연산자의 인덱스 클래스를 정의하고 특성화하기 위해.
• 정규 부분에서의 적응된 리만 메트릭 선택에 관계없이 해석적 서명 클래스가 불변임을 보여주기 위해.
• 전체 서명 패키지의 기초를 다지기 위해, 어셈블리 맵과 카스파로프 프로덕트 구조와의 호환성을 포함한 이론의 해석적 측면을 증명하기 위해.

제안 방법

• 위트 공간에서의 서명 연산자에 대해 계층적 구조에 기반한 귀납적 방법을 사용하여 파라메트릭스를 구성함.
• 파라메트릭스를 이용하여 서명 연산자의 최대 정의역이 $L^2_{\mathrm{iie}}$에 컴act하게 통합됨을 증명함.
• 서명 연산자의 최소 정의역과 최대 정의역이 일치함을 증명함으로써, 본질적 자기수반성과 이산적이고 유한 다중도 스펙트럼을 유도함.
• 군 $\Gamma$를 가진 갈로아 피복 위에서 미시첸코 번들의 계수를 가진 $L^2$-형식들의 $C^*_r\Gamma$-힐버트 모듈을 정의함.
• 미시첸코 번들의 계수를 가진 서명 연산자로부터 비유계 카스파로프 $(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$-이중모듈을 구성함.
• 인덱스 클래스 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ 가 카스파로프 프로덕트 $[\widetilde{C^*_r\Gamma}] \otimes [[\eth_{\mathrm{sign}}]]$ 와 같고, 메트릭 선택에 관계없이 불변임을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위트 공간에서의 서명 연산자가 본질적으로 자기수반적이며, 이산적이고 유한 다중도 스펙트럼을 가짐을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ2 갈로아 피복된 위트 공간에 대해 $K_*(C^*_r\Gamma)$에서 해석적 서명 클래스를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 정규 부분에서의 적응된 리만 메트릭 선택에 관계없이 해석적 서명 클래스가 불변인가?
• RQ4 인덱스 클래스 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ 는 미시첸코 번들의 계급과 함께 카스파로프 프로덕트 공식을 만족하는가?
• RQ5 인덱스 클래스는 어셈블리 맵 $\beta: K_*(B\Gamma) \to K_*(C^*_r\Gamma)$ 와 호환되는가?

주요 결과

• 위트 조건을 만족하는 임의의 컴팩트하고, 방향이 주어진, 계층적 유클리드 다각형에서의 서명 연산자는 본질적으로 자기수반적이며, 이산 스펙트럼을 가지며 다중도는 유한하다.
• 서명 연산자의 최대 정의역은 $L^2_{\mathrm{iie}}$에 컴팩트하게 통합되어 있으며, 이는 최소 정의역과 최대 정의역이 일치함을 보장한다.
• 해석적 서명 클래스 $[\eth_{\mathrm{sign}}] \in K_*(\widehat{X})$ 는 잘 정의되어 있으며, 정규 부분에서의 적응된 메트릭 선택에 관계없이 불변이다.
• 인덱스 클래스 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}}) \in K_*(C^*_r\Gamma)$ 는 적응된 메트릭 선택에 관계없이 불변이며, 카스파로프 프로덕트 $[\widetilde{C^*_r\Gamma}] \otimes [[\eth_{\mathrm{sign}}]]$ 와 같다.
• 인덱스 클래스는 $K_*(C^*_r\Gamma)$ 에서 $\beta(r_*[\eth_{\mathrm{sign}}]) = \mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ 를 만족하며, 어셈블리 맵과의 호환성을 확인한다.
• 이 구성은 비유계 카스파로프 $(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$-이중모듈을 유도하며, 이는 $KK_*(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$ 에서 인덱스 클래스를 실현한다.