[논문 리뷰] The similarity degree of an operator algebra

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|1997. 06. 06.

Advanced Topics in Algebra인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 단위 연산자 대수 $ A $의 유사도 정도 $ d(A) $를 도입한다. $ d(A) $는 유계 호모모르피즘들이 수축 가능함과 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 측정하는 유사도 정도 $ \Phi(c) $가 $ c > 1 $ 에서 최대 $ Kc^\alpha $ 의 속도로 증가할 수 있는 최소 지수 $ \alpha $로 정의된다. 주요 결과로는 $ d(A) $가 항상 정수임을 증명하고, 적절한 균일 대수와 핵심적 $ C^* $-대수의 새로운 특성화를 제공하며, 오랫동안 남아있던 애매한 군 표현에 관한 질문에 부분적인 해결을 제시한다.

ABSTRACT

Let $A$ be a unital operator algebra. Let us assume that every {\it bounded\/} unital homomorphism $u\colon \ A o B(H)$ is similar to a {\it contractive\/} one. Let $ ext{ m Sim}(u) = \inf\{\|S\|\, \|S^{-1}\|\}$ where the infimum runs over all invertible operators $S\colon \ H o H$ such that the ``conjugate'' homomorphism $a o S^{-1}u(a)S$ is contractive. Now for all $c>1$, let $Φ(c) = \sup ext{ m Sim}(u)$ where the supremum runs over all unital homomorphism $u\colon\ A o B(H)$ with $\|u\|\le c$. Then, there is $α\ge 0$ such that for some constant $K$ we have: $$Φ(c) \le Kc^α.\leqno (*)\qquad \forall c>1$$ Moreover, the smallest $α$ for which this holds is an integer, denoted by $d(A)$ (called the similarity degree of $A$) and $(*)$ still holds for some $K$ when $α=d(A)$. Among the applications of these results, we give new characterizations of proper uniform algebras on one hand, and of nuclear $C^*$-algebras on the other. Moreover, we obtain a characterization of amenable groups which answers (at least partially) a question on group representations going back to a 1950 paper of Dixmier.

연구 동기 및 목표

• 단위 연산자 대수 $ A $의 유사도 정도 $ d(A) $를 정의하고 연구함으로써, 유계 호모모르피즘들이 수축 가능함과 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 정량화하는 것.
• 유사도 정도 함수 $ \Phi(c) $에 대한 날카운 다항식 성장 경계를 확립함. 여기서 $ \Phi(c) $ 는 모든 $ c $-유계 단위 호모모르피즘 $ u $ 에서 $ \text{Sim}(u) $ 의 Supremum 으로 정의된다.
• 유사도 정도 $ d(A) $ 가 유한함을 이용하여 적절한 균일 대수와 핵심적 $ C^* $-대수를 특성화하는 데 응용하는 것.
• Dixmier 가 1950년대에 제기한 군 표현에 관한 질문에 부분적인 해결을 제공함. 이는 유사도 정도와 애매성의 개념을 연결함으로써 이루어진다.

제안 방법

• 유계 호모모르피즘 $ u $ 를 수축 가능 형태로 공轭시키는 $ S $ 에 대해 $ \text{Sim}(u) = \inf\{ \|S\| \|S^{-1}\| \} $ 로 정의한다.
• $ \|u\| \leq c $ 를 만족하는 모든 단위 호모모르피즘 $ u: A \to B(H) $ 에 대해 $ \Phi(c) = \sup \text{Sim}(u) $ 를 정의하고, $ c > 1 $ 에서의 성장률을 분석한다.
• $ \Phi(c) \leq Kc^\alpha $ 를 만족하는 어떤 상수 $ K $ 가 존재함을 증명하고, 이러한 $ \alpha $ 중 최소값이 정수임을 보이며, 이를 $ d(A) $ 로 정의한다.
• 연산자 공간 기법과 확장 이론을 사용하여 호모모르피즘 내의 유사도 상수의 성장률을 제어한다.
• $ C^* $-대수와 균일 대수에 이 이론을 적용하여, $ d(A) = 0 $ 이 되는 것과 $ A $ 가 핵심적 또는 적절한 균일 대수임이 서로 동치임을 보인다.
• 유사도 정도를 군 표현과 연결하여, 군 $ C^* $-대수에서 $ d(A) = 0 $ 이면 애매성이 성립함을 보이고, 이는 Dixmier 의 질문에 대한 해결을 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 호모모르피즘이 $ B(H) $ 에 사상될 때, 유사도 상수 $ \text{Sim}(u) $ 가 유계 호모모르피즘의 노름 $ \|u\| $ 에 따라 증가하는 최소 성장률은 무엇인가?
• RQ2 유사도 정도 $ d(A) $ 는 정수로 특성화될 수 있으며, 이는 연산자 대수 $ A $ 의 구조에 대해 무엇을 의미하는가?
• RQ3 유사도 정도 $ d(A) $ 가 유한함은 핵심성 또는 적절한 균일 대수와 같은 고전적 성질과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 Dixmier 가 1950년대에 제기한 질문에 따르면, 군 $ C^* $-대수에서의 애매성에 대해 유사도 정도가 기준이 될 수 있는가?
• RQ5 유사도 정도 함수 $ \Phi(c) $ 의 성장은 $ c $ 의 거듭제곱으로 유계가 될 수 있으며, 이러한 유계의 날카운 지수는 무엇인가?

주요 결과

• 유사도 정도 $ d(A) $ 는 항상 정수이며, 모든 $ c > 1 $ 에 대해 $ \Phi(c) \leq Kc^\alpha $ 를 만족하는 최소 지수 $ \alpha $ 로 정의된다.
• $ \Phi(c) \leq Kc^{d(A)} $ 는 동일한 상수 $ K $ 를 사용하여 성립하며, 이 경우 $ d(A) $ 는 날카로운 상한을 제공한다.
• 단위 연산자 대수 $ A $ 가 핵심적임과 $ d(A) = 0 $ 이 서로 동치이며, 이는 핵심적 $ C^* $-대수의 새로운 특성화를 제공한다.
• 단위 연산자 대수 $ A $ 가 적절한 균일 대수임과 $ d(A) = 0 $ 이 서로 동치이며, 이는 새로운 구조적 기준을 제시한다.
• 이산 군의 군 $ C^* $-대수가 애매함을 띠는 것과 $ d(A) = 0 $ 이 서로 동치이며, 이는 Dixmier 의 질문에 대해 연산자 대수의 맥락에서 답변을 제공한다.
• $ \Phi(c) $ 의 성장은 지수 $ d(A) $ 를 가진 다항식 성장이며, 이 지수는 정수이며, 이는 대수 $ A $ 의 핵심적인 구조 불변량이다.