[논문 리뷰] The simplest mixed finite element method for linear elasticity in the symmetric formulation on $n$-rectangular grids

Jun Hu, Hongying Man외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 19.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 16인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 직각 격자 위에서 임의의 차원에서 선형 탄성 문제에 대해 최소 차수의 대칭적 비일치하는 혼합 유한요소 가족을 제안한다. 정규화된 다항식 공간을 사용하여 법선 응력 σ_ii 에 대해 span{1, x_i}, 전단 응력 σ_ij 에 대해 span{1, x_i, x_j}, 변위에 대해 span{1}을 사용한다. 이 방법은 최적 수렴률을 달성하며 수치 실험에서 예상치 못한 초수렴 현상을 보이며, 이는 이전 요소들에 비해 자유도 수를 크게 줄였음에도 성능이 뛰어나다.

ABSTRACT

A family of mixed finite elements is proposed for solving the first order system of linear elasticity equations in any space dimension, where the stress field is approximated by symmetric finite element tensors. This family of elements has a perfect matching between the stress components and the displacement. The discrete spaces for the normal stress $σ_{ii}$, the shear stress $σ_{ij}$ and the displacement $u_i$ are $\operatorname{span}\{1,x_i\}$, $\operatorname{span}\{1,x_i,x_j\}$ and $\operatorname{span}\{1\}$, respectively, on rectangular grids. In particular, the definition remains the same for all space dimensions. As a result of these choices, the theoretical analysis is independent of the spatial dimension as well. In 1D, this element is nothing else but the 1D Raviart-Thomas element, which is the only conforming element in this family. In 2D and higher dimensions, they are new elements but of the minimal degrees of freedom. The total degrees of freedom per element is 2 plus 1 in 1D, 7 plus 2 in 2D, and 15 plus 3 in 3D. The previous record of the least degrees of freedom is, 13 plus 4 in 2D, and 54 plus 12 in 3D, on the rectangular grid. These elements are the simplest element for any space dimension. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate of the family of finite elements are proved for both pure displacement and traction problems. Numerical tests in 2D and 3D are presented to show a superiority of the new element over others, as a superconvergence is surprisingly exhibited.

연구 동기 및 목표

• n차원 직각 격자 위에서 대칭 응력 형식을 사용한 선형 탄성 문제에 대해 안정적이고 적합한 혼합 유한요소 방법을 개발한다.
• 순수 변위 및 고정력 경계 조건을 모두 유지하면서 자유도 수를 최소화하면서도 최적 수렴률과 안정성을 확보한다.
• 고차원 문제에서 비일치성과 이산 인프-스터프 조건의 과제를 극복한다.
• 1차원, 2차원, 3차원에서 동일하게 작동하는 통합적이고 차원에 의존하지 않는 수식을 제공한다.
• 수치 실험을 통해 뛰어난 성능을 입증하며, 이는 이론적으로 예상치 못한 초수렴 현상을 포함한다.

제안 방법

• 이 방법은 최소 다항식 유한요소 공간을 사용한다: 각 직각 요소에서 법선 응력 성분 σ_ii 에 대해 span{1, x_i}, 전단 응력 σ_ij 에 대해 span{1, x_i, x_j}, 변위 u_i 에 대해 span{1}을 사용한다.
• 이산 공간은 응력 성분의 방향 도함수와 일치하도록 구성되어 문제의 물리적 구조와 일관성을 확보한다.
• 일치하지 않는 혼합 유한요소 형식을 사용하여 정점 자유도와 일반적인 복합 요소를 피한다.
• 이산 인프-스터프 조건의 검증에 기반하여 안정성이 입증되며, 이는 이산 정확한 수열과 표준 보간 연산자를 활용한다.
• 선형 탄성 문제의 1차 미분형식을 사용하여 헬링거-라이스너 변분 원리를 적용한다.
• 수치 실험은 균일한 직각 격자 메esh의 세분화와 노드 보간 연산자를 사용하여 오차와 수렴률을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 탄성 문제에 대해 임의의 차원에서 안정적이고 수렴 가능한 최소 차수의 대칭적 비일치 혼합 유한요소 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 최소 자유도와 비일치성에도 불구하고 제안된 방법이 최적 수렴률을 달성하는가?
• RQ3 이론 분석에서 1차 수렴만 보장하는 바에 비해 수치 실험에서 초수렴 현상이 나타나는가?
• RQ4 자유도 수가 더 많은 기존 요소들과 비교해 효율성과 정확도에서 어떻게 성능을 냈는가?
• RQ5 이러한 최소 다항식 공간이 직각 격자에서 이산 인프-스터프 조건을 충족할 수 있는가?

주요 결과

• 이론 분석에서 1차 수렴만 보장하는 바에 비해, 이 방법은 변위와 응력에 대해 L2 노름에서 최적 수렴률인 2차를 달성한다.
• 2차원 및 3차원 수치 실험에서 초수렴 현상이 나타나며, 변위, 응력, 응력 오차의 발산에 대해 수렴 차수 2.0을 기록하여 이론적 예측을 초월한다.
• 새로운 요소는 2차원에서 요소당 7+2개, 3차원에서 15+3개의 자유도를 가지며, 이는 이전 기록인 2차원 13+4개, 3차원 54+12개에 비해 크게 줄어든 것이다.
• 단순 변위 문제와 단순 고정력 문제 모두에서 수치 결과로 안정성과 수렴성이 확인되었다. 단위 정사각형과 정육면체에서 검증되었다.
• 2차원에서 이론적 분석에 비해 Yi의 요소 [31]보다 더 높은 수렴률과 더 적은 자유도를 달성하여 한 단계 높은 수렴 차수를 확보하였다.
• 3차원 구현 결과는 동일한 초수렴 행동을 확인하였으며, 모든 오차 노름에서 수렴 차수 2.0을 기록하였다. 이는 이론적으로는 1차 수렴만 보장되지만 실제로는 더 높은 성능을 보였다.