[논문 리뷰] THE SIMPLICIAL MODEL OF UNIVALENT FOUNDATIONS

Krzysztof Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 76

한 줄 요약

이 논문은 유니버스 기반의 일관성 기법을 사용하여 단체 집합의 범주에서 유니버설 기초 이론의 모델을 구축한다. 약한 유니버설 칸 필라션을 수립하고, 이 모델에서 유니버설 성질 공리가 성립한다는 것을 증명하며, ZFC에 두 개의 불가분한 기수를 추가한 체계에 상대적으로 일관됨을 보인다.

ABSTRACT

In this paper, we construct and investigate a model of the Univalent Foundations of Mathematics in the category of simplicial sets. To this end, we rst give a new technique for constructing models of dependent type theory, using universes to obtain coherence. We then construct a (weakly) universal Kan bration, and use it to exhibit a model in simplicial sets. Lastly, we introduce the Univalence Axiom, in several equivalent formulations, and show that it holds in our model. As a corollary, we conclude that Univalent Foundations are at least as consistent as ZFC with two inaccessible cardinals.

연구 동기 및 목표

• 유니버스를 사용하여 종속 유형 이론의 모델을 구축하는 데 새로운 기법을 개발하여, 유형 생성자들 사이의 일관성을 보장한다.
• 단체 집합의 범주에서 약한 유니버설 칸 필라션을 구축한다.
• 이 모델에서 유니버설 성질 공리가 성립함을 보여준다.
• ZFC에 두 개의 불가분 기수를 추가한 체계에 상대적으로 유니버설 기초 이론의 일관성을 확립한다.

제안 방법

• 유형 생성자들 사이의 일관성을 보장하는 유니버스 기반의 종속 유형 이론 모델을 구축하는 방법을 도입한다.
• 단체 집합의 범주에서 약한 유니버설 칸 필라션을 정의하고 구축한다.
• 약한 유니버설 칸 필라션을 사용하여 단체 집합 내에서 유니버스와 종속 유형을 해석한다.
• 유니버설 성질 공리를 이 단체 집합 모델 내에서 여러 동치 방식으로 공식화한다.
• 모든 유니버설 성질 공리의 표현 방식이 구축된 모델에서 만족됨을 검증한다.
• 유니버설 기초 이론의 일관성 강도가 ZFC에 두 개의 불가분 기수를 추가한 체계를 초과하지 않음을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니버스를 사용하여 단체 집합 내에서 종속 유형 이론의 일관된 모델을 구축할 수 있는가?
• RQ2 단체 집합의 범주에서 약한 유니버설 칸 필라션이 존재하는가?
• RQ3 이 단체 집합 모델 내에서 유니버설 성질 공리의 다양한 표현 방식은 동치인가?
• RQ4 유니버설 성질 공리는 구축된 단체 집합 모델에서 성립하는가?
• RQ5 유니버설 기초 이론의 일관성 강도는 표준 집합론에 비해 어느 정도인가?

주요 결과

• 새로운 유니버스 기반 기법을 통해 단체 집합 내에서 종속 유형 이론의 일관된 모델링이 가능해졌다.
• 단체 집합의 범주에서 약한 유니버설 칸 필라션이 성공적으로 구축되었다.
• 유니버설 성질 공리는 단체 집합 모델 내에서 성립함을 확인하여 이 설정 내에서의 타당성을 입증하였다.
• 모델 내에서 유니버설 성질 공리의 여러 표현 방식이 상호 동치임을 보였다.
• ZFC에 두 개의 불가분 기수를 추가한 체계에 상대적으로 유니버설 기초 이론의 일관성이 확립되었다.