[논문 리뷰] The simplicity of the first spectral radius of a meromorphic map

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 Kähler 다양체 위의 유리형 사상 $f$의 첫 번째 스펙트럴 반경 $\lambda_1(f)$의 단순성을 조건 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ 하에서 확립한다. 이는 $f^*$가 $H^{1,1}(X)$ 위에서 작용할 때 $\lambda_1(f)$가 단순 고유값이며, 모듈러스가 $\sqrt{\lambda_2(f)}$를 초과하는 유일한 고유값임을 증명한다. 결과는 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 대수적 설정으로 확장되며, 3차원 다양체 위의 비메르모르픽 사상과 페시도-자명사상에 응용된다.

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kähler manifold and let $f:X ightarrow X$ be a dominant rational map which is 1-stable. Let $λ_1$ and $λ_2$ be the first and second dynamical degrees of $f$. If $λ_1^2>λ_2$, then we show that $λ_1$ is a simple eigenvalue of $f^*:H^{1,1}(X) ightarrow H^{1,1}(X)$, and moreover the unique eigenvalue of modulus $>\sqrt{λ_2}$. A variant of the result, where we consider the first spectral radius in the case the map $f$ may not be 1-stable, is also given. An application is stated for bimeromorphic selfmaps of 3-folds. In the last section of the paper, we prove analogs of the above results in the algebraic setting, where $X$ is a projective manifold over an algebraic closed field of characteristic zero, and $f:X ightarrow X$ is a rational map. Part of the section is devoted to defining dynamical degrees in the algebraic setting. We stress that here the dynamical degrees of rational maps can be defined over any algebraic closed field, not necessarily of characteristic zero.

연구 동기 및 목표

• 유도적인 유리형 사상 $f$가 컴acts Kähler 다양체 위에 있고 조건 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$를 만족할 때, 첫 번째 스펙트럴 반경 $\lambda_1(f)$의 단순성을 확립한다.
• psef 클래스의 코homology에서의 보존을 이용해, 1-안정이 아닌 경우에도 스펙트럴 단순성 결과를 일반화한다.
• 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 대수적 설정으로 동역학 차수 이론과 스펙트럴 결과를 확장한다.
• $\lambda_1(f)^n$ 에 대한 오차 항이 지수적으로 작은 정도로도 도수 성장의 기준을 제시한다.
• 결과를 3차원 다각형 위의 비메르모르픽 사상, 특히 $\lambda_1(f) > 1$ 인 페시도-자명사상에 적용한다.

제안 방법

• Hodge 지수 정리(Hodge-Riemann 이중선형 관계)를 사용하여 $H^{1,1}(X)$ 위의 코homology 클래스의 구조를 분석한다.
• Hironaka의 정의점 제거 기법을 적용하여 부드러운 중심을 따라의 블로우업을 통해 유리형 사상의 기저 집합을 해결한다.
• 블로우업에 대한 풀-푸시 공식을 활용하여, 해소 이전과 이후의 $f^*$가 $N^1_{\mathbb{R}}(X)$ 위에서 작용하는 방식을 연결한다.
• 동역학 차수의 로그-볼록성과 psef 보존 하에서의 스펙트럴 반경 부등식 $r_1(f)^2 \geq r_2(f)$에 기반한다.
• Néron-Tate 높이와 교차 이론을 사용하여 Kähler 설정의 분석 기법을 대수적 설정으로 적응한다.
• Lemma 13에 의해 동역학 차수의 비유형 불변성을 이용하여 동일한 다양체의 다양한 모델에서의 사상들을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $f$의 첫 번째 스펙트럴 반경 $\lambda_1(f)$가 $H^{1,1}(X)$ 위에서 $f^*$의 단순 고유값이 되는가?
• RQ2 만약 $f^*$가 $H^{2,2}(X)$ 위의 psef 콘을 보존한다면, 1-안정이 아닌 사상에 대해서도 스펙트럴 단순성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ3 고유값 $f^*$의 스펙트럴 성질이 $f^n$의 도수 성장과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 대수적 설정에서 스펙트럴 단순성 결과의 유사체는 무엇인가?
• RQ5 결과를 3차원 다각형 위의 비메르모르픽 사상, 특히 페시도-자명사상의 동역학을 분류하는 데 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $f$가 1-안정이면서 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ 이면, $\lambda_1(f)$는 $f^*: H^{1,1}(X) \to H^{1,1}(X)$ 의 단순 고유값이다.
• 동일한 조건 하에서, $\lambda_1(f)$는 $H^{1,1}(X)$ 위에서 $f^*$의 고유값 중에서 모듈러스가 $\sqrt{\lambda_2(f)}$를 초과하는 唯 하나의 고유값이다.
• 3차원 다각형 위의 비메르모르픽 사상에서 $\lambda_1(f) > 1$ 이면, $f$ 또는 $f^{-1}$ 중 하나가 스펙트럴 단순성 조건을 만족한다.
• $f^n$의 도수 성장은 $\deg(f^n) = c\lambda_1(f)^n + O(\tau^n)$ 를 만족하며, 이때 $c > 0$ 이고 $\tau < \lambda_1(f)$ 이다.
• 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 대수적 설정에서 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ 이면, $N^1_{\mathbb{R}}(X)$ 위에서 $\lambda_1(f)$의 스펙트럴 단순성이 성립한다.
• $f^*$가 $N^2_{\mathbb{R}}(X)$ 위의 효과적 클래스의 콘을 보존하는 경우에도 결과가 확장되며, 이 경우 $r_1(f)^2 > r_2(f)$ 조건 하에서 유사한 스펙트럴 단순성이 얻어진다.