[논문 리뷰] The simplified SIS model in a low-risk or high-risk domain: Spreading or vanishing of the disease

Jing Ge, Kwang Ik Kim외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 31.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 비균질 환경에서의 전염병 확산을 연구하기 위해 자유 경계를 갖는 간소화된 SIS 반응-확산-유동 모델을 제안한다. 시간에 따라 변하는 기본 재생수 $R_0^F(t)$를 도입하고, $R_0^F(t_0) \geq 1$ 이며 어떤 $t_0 \geq 0$ 에 대해 성립할 경우 병원체는 전체 영역으로 퍼질 것이며, 그렇지 않으면 초기 감염 범위가 작고 확장 속도가 낮을 경우 병원체의 퇴치가 가능하다고 증명한다.

ABSTRACT

A simplified SIS reaction-diffusion-advection model is proposed and investigated to understand the impact of spatial heterogeneity of environment and advection on the persistence and eradication of an infectious disease. The free boundary is introduced to model the contact transmission at the spreading front of the disease. The behavior of positive solutions to a reaction-diffusion-advection system are discussed. The basic reproduction number $R_0^F(t)$ associated with the diseases in the spatial setting is introduced for this diffusive SIS model with the free boundary, we prove that fast diffusion, small expanding rate and small initial infected domain are benefit for the control of the spatial spread of the disease. Sufficient conditions for the disease to be eradicated or to spread are also given, our result shows that the disease will spread to the whole area if there exists a $t_0\geq 0$ such that $R_{0}^F(t_0)\geq 1$, that is, if the spreading domain is high-risk at some time, the disease will continue to spread till the whole area is infected; while if $R_{0}^F(0)<1$, the disease may be vanishing or keep spreading depends on the expanding rate and the initial number of the infective individuals. The spreading speeds are also given when spreading happens, and numerical simulations are also given to illustrate the impacts of the advection and the expanding rate on the spreading fronts.

연구 동기 및 목표

• 공간적 비균질성과 유동이 공간적으로 구조화된 환경에서 전염병의 지속 또는 퇴치에 미치는 영향을 이해하기 위해.
• 감염 동역학에 따라 변화하는 자유 경계를 사용하여 전염병의 확산 경계를 모델링하기 위해.
• 공간적으로 비균질이고 확산이 일어나는 SIS 프레임워크 내에서 시간에 따라 변하는 기본 재생수 $R_0^F(t)$ 를 정의하고 분석하기 위해.
• 초기 조건과 확장 속도에 중점을 두어 병원체가 전역적으로 퍼지거나 소멸하는 조건을 규명하기 위해.
• 병원체가 퍼질 경우의 확산 속도를 유도하고, 유동 및 확장 속도가 병원체 전파 경계에 미치는 영향을 정량화하기 위해.

제안 방법

• 이동하는 유행병 경계를 나타내기 위해 자유 경계를 갖는 반응-확산-유동 SIS 모델을 수립한다.
• 각 시간점에서 병원체의 확산 잠재력을 반영하는 시간에 따라 변하는 기본 재생수 $R_0^F(t)$ 를 도입한다.
• 다양한 매개변수 조건 하에서 시스템의 정규 해의 장기적 행동을 분석한다.
• 초기 감염 크기와 확장 속도를 고려하여 $R_0^F(0)$, 초기 감염 크기, 확장 속도에 기반한 병원체 퇴치 또는 확산에 대한 충분조건을 설정한다.
• 병원체가 퍼질 경우, 자유 경계 동역학의 渐近 분석을 통해 확산 속도를 유도한다.
• 유동과 확장 속도가 확산 경계에 미치는 영향을 시각화하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간적으로 비균질이고 유동이 존재하는 환경에서 병원체가 전체 영역으로 퍼지기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ2 시간에 따라 변하는 기본 재생수 $R_0^F(t)$ 는 병원체의 장기적 운명을 어떻게 결정하는가?
• RQ3 초기 감염 영역 크기, 확장 속도, 확산 속도는 병원체 통제에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 유동은 병원체 경계 전파의 속도와 패턴에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 후속 시간에 $R_0^F(t)$ 가 1을 초과하더라도 병원체가 소멸할 수 있는가? 어떤 조건에서 가능한가?

주요 결과

• 어느 $t_0 \geq 0$ 에 대해 $R_0^F(t_0) \geq 1$ 이면, 초기 조건에 관계없이 병원체는 전체 영역으로 퍼진다.
• $R_0^F(0) < 1$ 이더라도 확장 속도와 초기 감염자 수에 따라 병원체가 여전히 퍼질 수 있다.
• 빠른 확산, 낮은 확장 속도, 작은 초기 감염 영역은 병원체 퇴치에 유리하다.
• 병원체가 퍼질 경우, 확산 속도는 명시적으로 도출되며, 이는 유동 및 확산 매개변수에 따라 달라진다.
• 수치 시뮬레이션은 유동과 확장 속도가 확산 경계의 형태와 속도에 상당한 영향을 미친다는 것을 확인한다.
• 모델은 병원체가 어떤 시간 $t_0$ 에도 고위험 지역이 되면 고위험 지역에서 지속될 수 있음을 보여준다.