[논문 리뷰] The singular limit of the Water-Waves equations in the rigid lid regime

Benoît Mésognon-Gireau|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 08.

Ocean Waves and Remote Sensing참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 파장 높이 비율 ε이 0으로 수렴할 때 수면파 방정식의 특이 극한을 조사하며, 강체 뚜껑 모드에서 해가 약한 수렴을 통해 0으로 수렴함을 보여준다. 약한 수렴에도 불구하고 선형화된 Zakharov-Craig-Sulem 표현식에서 강한 수렴이 확립되었으며, 속도 및 압력 확장을 통해 자유 표면 Euler 방정식과 잠재력 표현식 간의 등가성에 대한 새로운 증명이 제시된다.

ABSTRACT

The re-scaled Water-Waves equations depend strongly on the ratio epsilon between the amplitude of the wave and the depth of the water. We investigate in this paper the convergence as epsilon goes to zero of the free surface Euler equations to the so called rigid lid model. We first prove that the only solutions of this model are zero. Due to the conservation of the Hamiltonian, the solutions of the free surface Euler equations converge weakly to zero, but not strongly in the general case, as epsilon goes to zero. We then study this default of convergence. More precisely, we show a strong convergence result of the solutions of the water waves equations in the Zakharov-Craig-Sulem formulation to the solutions of the linear water-waves equations. It is then easy to observe that these latter converge weakly to zero. The simple structure of this system also allows us to explain the mechanisms of the weak convergence to zero. Finally, we show that this convergence to the rigid lid model also holds for the solutions of the Euler equations. To this end we give a new proof of the equivalence of the free surface Euler equations and of the Zakharov-Craig-Sulem equation by building an extension of the velocity and pressure fields.

연구 동기 및 목표

• 파장 높이 비율 ε → 0일 때 수면파 방정식의 특이 극한을 분석하는 것.
• 강체 뚜껑 모델에서 해가 오직 영해만을 허용하므로, 이 모델의 해 수렴 행동을 이해하는 것.
• Zakharov-Craig-Sulem 표현식의 해가 선형화된 시스템으로 향해 강한 수렴함을 확립하고, 0으로 향하는 약한 수렴의 메커니즘을 설명하는 것.
• 속도 및 압력 장 확장을 통해 자유 표면 Euler 방정식과 Zakharov-Craig-Sulem 표현식 간의 등가성을 재증명하는 것.

제안 방법

• 차원 없는 매개변수를 포함한 스케일링된 자유 표면 Euler 방정식을 분석하며, ε → 0의 극한을 중심으로 다룬다.
• Zakharov-Craig-Sulem 표현식을 사용하여 수면파 문제를 표면 높이 ζ와 표면 잠재력 ψ에 대한 해밀토니안 시스템으로 표현한다.
• 표면 잠재력과 유체 영역 내 전체 속도 잠재력 간의 관계를 위해 Dirichlet-Neumann 연산자 G를 적용한다.
• ε → 0일 때, 해가 Sobolev 공간 H^N 및 H^{N+1/2}에서 선형 수면파 방정식의 해로 강한 수렴함을 확립한다.
• ε에 대해 일관된 노름을 제어하기 위해, 유체 영역을 변형하는 Σ_t^ε를 통한 변수 변화를 도입한다.
• 자유 표면 Euler 방정식과 Zakharov-Craig-Sulem 표현식 간의 등가성을 입증하기 위해 속도 및 압력 장의 확장을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파장 높이 비율 ε이 0으로 수렴할 때 수면파 방정식의 해는 어떻게 되는가?
• RQ2 왜 강체 뚜껑 모델은 오직 영해만을 허용하며, 이는 원래 시스템의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 ε → 0 근처에서 선형화된 수면파 시스템에 대해 강한 수렴을 확립할 수 있는가?
• RQ4 비선형 전체 시스템에서 관찰된 0으로 향하는 약한 수렴의 메커니즘은 무엇인가?
• RQ5 장 확장을 통해 자유 표면 Euler 방정식과 Zakharov-Craig-Sulem 표현식 간의 등가성을 어떻게 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• 강체 뚜껑 모델은 오직 자명한 해만을 허용하므로, 전체 수면파 방정식의 해는 ε → 0일 때 약한 수렴을 통해 0으로 수렴한다.
• Zakharov-Craig-Sulem 표현식의 해는 ε → 0일 때 Sobolev 공간 H^N 및 H^{N+1/2}에서 선형 수면파 방정식의 해로 강한 수렴한다.
• 선형 수면파 시스템의 해는 약한 수렴을 통해 0으로 수렴하며, 본 논문은 이 행동의 물리적 및 수학적 메커니즘을 설명한다.
• 속도 및 압력 장의 확장을 구성함으로써 자유 표면 Euler 방정식과 Zakharov-Craig-Sulem 표현식 간의 등가성에 대한 새로운 증명이 확립된다.
• 변수 변화와 곱셈 추정을 통해 Sobolev 공간 내 노름 추정치가 ε에 대해 균일하게 제어되며, 이는 극한에서의 안정성을 보장한다.
• 수렴 결과는 ε에 독립적인 상수를 갖는 한정된 시간 T₀까지 시간에 대해 균일하다.