[논문 리뷰] The singularities and Kodaira dimension of unitary Shimura varieties

Yota Maeda|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 18.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 n > 4일 때 단위 임의의 시무라 다양체가 표준 특이점을 가지며, 특히 보르처르스 형식 Φ₁₂의 제약을 통해 낮은 무게의 모듈러 형식이 분기 분할에서 사라지는 것을 분석하여 Q(√−1)와 Q(√−3) 위에서 정의된 특정 단위 임의의 시무라 다양체가 일반 유형임을 보여준다.

ABSTRACT

The Kodaira dimension of Shimura varieties has been studied by many people. Kondo and Gritsenko-Hulek-Sankaran studied the singularities of orthogonal Shimura varieties related to the moduli spaces of polarized K3 surfaces. They proved that they have canonical singularities and are of general type if the polarization degree is sufficiently large. In this paper, we work on similar problems for unitary Shimura varieties. We show that they have canonical singularities if $n > 4$. As an application, we show that certain unitary Shimura varieties associated with Hermitian forms over the rings of integers of $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ are of general type. We use modular forms of low weight vanishing on ramification divisors, which are the restrictions of the quasi-pullbacks of the Borcherds form $Φ_{12}$.

연구 동기 및 목표

• 직교 시무라 다양체에 대한 이전 연구를 확장하여 단위 임의의 시무라 다양체의 특이점과 코다이라 차원을 조사하는 것.
• 특히 허수 정수환을 가진 허미션 형식에 대한 임의의 시무라 다양체가 일반 유형이 되는 조건을 규명하는 것.
• 특히 분기 분할에서 사라지는 낮은 무게의 모듈러 형식이 이러한 다양체의 비유리 기하학에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 보르처르스 형식 Φ₁₂의 준-역상 구조를 단위 임의의 설정으로 확장하여 모oduli 공간의 기하학적 성질을 도출하는 것.

제안 방법

• 특히 보르처르스 형식 Φ₁₂를 활용한 모듈러 형식 이론을 적용하여 단위 임의의 시무라 다양체 위에서 낮은 무게의 모듈러 형식을 구성하는 것.
• 보르처르스 형식 Φ₁₂를 분기 분할에 제약하여 모듈러 형식의 사라짐 행동을 분석하는 것.
• 준-역상 구조를 활용하여 특이점과 비유리 불변량을 감지하는 모듈러 형식을 생성하는 것.
• 표준 특이점은 캐르티에인 캐논리컬 분할과 비음수 불일치를 만족할 때 발생한다는 기준을 적용하는 것.
• K = Q(√−1), Q(√−3)에 대한 O_K 위에서 정의된 허미션 형식과 관련된 단위 임의의 시무라 다양체의 기하학을 분석하는 것.
• 낮은 무게의 모듈러 형식이 특이점 집합에서 사라짐을 보여 캐논리컬 번들의 크기가 크다는 것을 이용하여 코다이라 차원이 일반 유형임을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 단위 임의의 시무라 다양체가 표준 특이점을 갖는가?
• RQ2 낮은 무게의 모듈러 형식을 사용하여 단위 임의의 시무라 다양체의 코다이라 차원을 결정할 수 있는가?
• RQ3 보르처르스 형식 Φ₁₂가 분기 분할에 제약을 받을 때 단위 임의의 시무라 다양체의 비유리 기하학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 O_Q(√−1)와 O_Q(√−3) 위에서 정의된 허미션 형식과 관련된 단위 임의의 시무라 다양체는 일반 유형인가?
• RQ5 Φ₁₂의 준-역상은 단위 임의의 시무라 다양체에서 특이점과 캐논리컬 번들을 감지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 차원 매개변수 n > 4일 때 단위 임의의 시무라 다양체는 표준 특이점을 갖는다.
• Q(√−1)와 Q(√−3)의 정수환 위에서 정의된 허미션 형식과 관련된 특정 단위 임의의 시무라 다양체는 일반 유형이다.
• 특히 보르처르스 형식 Φ₁₂의 제약으로 얻어진 낮은 무게의 모듈러 형식은 분기 분할에서 사라지며, 코다이라 차원을 결정하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• Φ₁₂의 준-역상 구조는 단위 임의의 시무라 다양체에서 표준 특이점과 비유리 불변량을 감지하는 데 유용한 방법을 제공한다.
• 연구된 단위 임의의 시무라 다양체의 캐논리컬 번들은 크기 크기(big)이며, 이는 일반 유형임을 확인한다.
• 이 다양체의 기하학적 성질은 모듈러 형식과 특이점 집합의 구조 간의 상호작용에 의해 결정된다.