[논문 리뷰] The small Deborah number limit of the Doi-Onsager equation to the Ericksen-Leslie equation

Wei Wang, Pingwen Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 24.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 전개를 통해 소규모 데보르 수 근처에서 도이-온사거 방정식으로부터 에릭센-레슬리 방정식을 엄밀하게 유도한다. 선형화된 도이-온사거 연산자의 스펙트럼 안정성을 확립하고, 새로운 좌표 변환과 마이어-자우페 공간을 도입함으로써 나머지 항에 대한 균일한 경계를 증명하며 에너지 소산을 보여, 복잡한 분자 상호작용을 가진 니ematic 액정의 유체역학적 근사가 검증된다.

ABSTRACT

We present a rigorous derivation of the Ericksen-Leslie equation starting from the Doi-Onsager equation. As in the fluid dynamic limit of the Boltzmann equation, we first make the Hilbert expansion for the solution of the Doi-Onsager equation. The existence of the Hilbert expansion is connected to an open question whether the energy of the Ericksen-Leslie equation is dissipated. We show that the energy is dissipated for the Ericksen-Leslie equation derived from the Doi-Onsager equation. The most difficult step is to prove a uniform bound for the remainder in the Hilbert expansion. This question is connected to the spectral stability of the linearized Doi-Onsager operator around a critical point. By introducing two important auxiliary operators, the detailed spectral information is obtained for the linearized operator around all critical points. However, these are not enough to justify the small Deborah number limit for the inhomogeneous Doi-Onsager equation, since the elastic stress in the velocity equation is also strongly singular. For this, we need to establish a precise lower bound for a bilinear form associated with the linearized operator. In the bilinear form, the interactions between the part inside the kernel and the part outside the kernel of the linearized operator are very complicated. We find a coordinate transform and introduce a five dimensional space called the Maier-Saupe space such that the interactions between two parts can been seen explicitly by a delicate argument of completing the square. However, the lower bound is very weak for the part inside the Maier-Saupe space. In order to apply them to the error estimates, we have to analyze the structure of the singular terms and introduce a suitable energy functional.

연구 동기 및 목표

• 소규모 데보르 수 영역에서 도이-온사거 방정식의 유체역학적 근사를 에릭센-레슬리 방정식으로 엄밀히 정당화하는 것.
• 도이-온사거 모델에서 유도된 해를 기반으로 에너지 소산이 성립함을 증명하여 열린 문제인 에너지 소산 문제를 해결하는 것.
• 힐버트 전개에서 나머지 항에 대한 균일한 경계를 확립하는 것. 이는 선형화된 도이-온사거 연산자의 세밀한 스펙트럼 분석을 필요로 한다.
• 탄성 응력 항의 강한 특이성에 대처하기 위해 이차형식에 대한 정확한 하한을 구축하는 것.
• 선형화된 연산자의 핵심 및 비핵심 성분 간의 복잡한 상호작용을 다루기 위해 새로운 에너지 함수형과 좌표 변환을 개발하는 것.

제안 방법

• 도이-온사거 방정식의 해에 대해 데보르 수의 거듭제곱으로 전개하는 힐버트 전개를 수행한다.
• 선형화된 도이-온사거 연산자의 스펙트럼 성질을 분석하기 위해 두 개의 보조 연산자를 도입한다.
• 선형화된 연산자의 핵심 및 비핵심 성분 간의 상호작용을 명시적으로 분해하기 위해 다섯 차원의 마이어-자우페 공간을 정의한다.
• 선형화된 연산자와 관련된 이차형식을 분석하기 위해 좌표 변환과 제곱 완성 기법을 사용한다.
• 특수하게 설계된 에너지 함수형을 구성하여 특이항을 제어하고 힐버트 전개의 나머지 항을 추정한다.
• 스펙트럼 분해로부터 유도된 계수의 양성성을 활용하여 이차형식에 대한 균일한 하한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 데보르 수 근처에서 도이-온사거 방정식으로부터 에릭센-레슬리 방정식을 엄밀하게 유도할 수 있는가?
• RQ2 유도된 에릭센-레슬리 방정식의 에너지가 소산되는가? 이는 물리적 일관성에 필수적이다.
• RQ3 탄성 응력 항의 강한 특이성에도 불구하고 힐버트 전개에서 나머지 항에 대한 균일한 경계를 확립할 수 있는가?
• RQ4 선형화된 도이-온사거 연산자의 핵심 및 비핵심 성분 간의 상호작용을 어떻게 명시적으로 제어할 수 있는가?
• RQ5 선형화된 연산자의 어떤 스펙트럼 구조가 이차형식에 대한 하한을 구성하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 도이-온사거 방정식으로부터 유도된 에릭센-레슬리 방정식의 에너지는 소산되며, 이는 근사의 물리적 일관성을 확인한다.
• 힐버트 전개에서 나머지 항에 대한 균일한 경계가 확립되었으며, 이는 유체역학적 근사의 타당성에 필수적이다.
• 선형화된 도이-온사거 연산자의 스펙트럼 분석은 모든 임계점 주변에 대해 세밀한 정보를 제공하며, 필요한 에너지 추정의 구축을 가능하게 한다.
• 선형화된 연산자와 관련된 이차형식은 정확한 하한을 가지며, 마이어-자우페 공간에서의 좌표 변환과 분해를 통해 달성된다.
• 에너지 추정에 사용된 계수들이 양수임이 증명되었으며, 이는 이차형식의 양성과 따라서 전개의 안정성을 보장한다.
• 유도된 에릭센-레슬리 방정식은 도이-온사거 모델의 소산 구조를 그대로 이어받으며, 니ematic 액정 유동의 거시적 기술로의 사용을 검증한다.