[논문 리뷰] The smallest Dirac eigenvalue in a spin-conformal class and cmc-immersions

Bernd Ammann|ArXiv.org|2003. 09. 03.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 26인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 특정 특이 미터릭을 포함하는 확대된 등각 클래스 내에서 체적의 $1/n$ 승으로 스케일링된 가장 작은 양의 딜라크 고유값의 최소화자가 존재함을 증명한다. 비선형 딜라크 방정식을 비선형 소볼레프 지수와 함께 풀어, 만약 그 하한이 구형 구면의 것보다 엄격히 작다면, 최소화자는 $C^2$ 스핀어 필드에 의해 달성되며, 이는 제어된 붕괴 집합을 가진 일반화된 미터릭을 유도한다.

ABSTRACT

Let us fix a conformal class $[g_0]$ and a spin structure $σ$ on a compact manifold $M$. For any $g\in [g_0]$, let $λ^+_1(g)$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator $D$ on $(M,g,σ)$. In a previous paper we have shown that $$λ_{min}(M,g_0,σ):=\inf_{g\in [g_0]} λ_1^+(g)\vol(M,g)^{1/n}>0.$$ In the present article, we enlarge the conformal class by certain singular metrics. We will show that if $λ_{min}(M,g_0,σ)

연구 동기 및 목표

• 체적의 $1/n$ 승으로 스케일링된 가장 작은 양의 딜라크 고유값의 하한이 등각 클래스 내에서 달성되는지 여부를 규명하는 것.
• 등각 클래스를 $L^\infty$ 유계 등각 인자까지 확장하여 특이한 미터릭을 포함하는 것.
• 하한이 구형 구면의 것보다 엄격히 작을 조건 하에서 최소화자의 존재성을 분석하는 것.
• 임계 비선형 딜라크 방정식의 해와 2차원에서의 일정 평균 곡률 표면 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 부드러운 미터릭을 초월하여 딜라크 연산자의 등각 불변성과 스펙트럼 경계에 대한 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 등각 클래스 $[g_0]$를 $L^\infty$ 수렴에 의한 완비화 $\overline{[g_0]}$로 확장하여, $f \in L^\infty$ 인 $g = f^2 g_0$ 형태의 미터릭을 允허하는 것.
• 기능 $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma) = \inf_{g \in [g_0]} \lambda_1^+(g) \cdot {\rm vol}(M,g)^{1/n}$ 을 정의하고 그 달성 여부를 연구하는 것.
• 임계 지수 $2/(n-1)$ 를 가진 비선형 딜라크 방정식 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$ 를 해결하고, 야마베 문제와 유사하게 다루는 것.
• 스핀어리얼 웨이어스트라스 표현을 사용하여 2차원에서의 해를 주기적인 일정 평균 곡률 표면과 연결하는 것.
• 타원형 정규성 이론과 소볼레프 포함 정리들을 적용하여 해의 $C^2$ 정규성을 확보하고 하올더 공간에서의 컴팩턴스를 확보하는 것.
• 렐리히-콘드라코프 및 아셀라-아스콜리 유형 정리를 활용하여 확장된 등각 클래스 내에서 최소화 수열의 수렴을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체적의 $1/n$ 승으로 스케일링된 가장 작은 양의 딜라크 고유값의 하한이 등각 클래스 내에서 언제 달성되는가?
• RQ2 등각 클래스를 특이한 미터릭을 포함하도록 확장할 수 있는가? 이 경우 최소화 문제의 잘 정의성과 해법 가능성은 유지되는가?
• RQ3 딜라크 방정식 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$ 에서 임계 비선형성 $|\varphi|^{2/(n-1)}$ 의 역할은 무엇인가?
• RQ4 이 비선형 딜라크 방정식의 해는 2차원에서의 일정 평균 곡률 표면 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 하한이 구형 구면 $S^n$ 의 것보다 엄격히 작은 것이 확장된 등각 클래스 내 최소화자의 존재를 위한 충분조건인가?

주요 결과

• 임의의 고정된 등각 클래스와 스핀 구조를 가진 컴팩트 스핀 다양체에 대해, $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma)$ 는 항상 양수이다.
• 만약 $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma) < \lambda_{\rm min}^+(S^n) = \frac{n}{2} \omega_n^{1/n}$ 이면, 하한은 일반화된 미터릭 $g = |\varphi|^{4/(n-1)} g_0$ 와 $\varphi \in C^2$ 에 의해 달성된다.
• 최소화자는 비선형 딜라크 방정식 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$ 의 해 $\varphi$ 와 대응하며, 이때 $\lambda = \lambda_{\rm min}^+$ 이다.
• 2차원에서는 비선형 딜라크 방정식의 해가 스핀어리얼 웨이어스트라스 표현을 통해 주기적인 일정 평균 곡률 표면을 유도한다.
• 노달 집합 $\varphi^{-1}(0)$, 즉 미터릭이 붕괴하는 집합은 $M$ 의 측도 0인 닫힌 부분집합이며, 일반화된 미터릭의 특이점 집합이다.
• 증명은 하올더 및 소볼레프 공간에서의 컴팩턴스에 기반하며, 미터릭의 $C^\infty$ 수렴 수열에 따른 상수들의 균일한 유계성을 포함한다.