[논문 리뷰] The solvability of Brezis-Nirenberg type problems of singular quasilinear elliptic equation

Benjin Xuan|ArXiv.org|2004. 03. 31.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임계 성장과 특이 가중치를 갖는 특이 쿼드라틱 타입 타원형 방정식에 대한 해의 존재성 및 비존재성 결과를 확립한다. 이는 브레지스-니레버그 프레임워크를 하드리 타입의 포텐셜을 포함하는 p-라플라시안 설정으로 확장한다. 새로운 컴act 임bedding 정리와 일반화된 농도-압축 원리를 증명함으로써, 저자들은 매개변수 제약 조건 하에서 에너지 함수가 (PS)₇ 조건을 만족함을 보이며, 이는 λ가 첫 번째 고유값 이하일 때 비자명한 약한 해의 존재를 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the existence and non-existence of non-trivial solution to a Brezis-Nirenberg type problem with singular weights. First, we obtain a compact imbedding theorem which is an extension of the classical Rellich-Kondrachov compact imbedding theorem, and consider the corresponding eigenvalue problem. Secondly, we deduce a Pohozaev type identity and obtained a non-existence result. Thirdly, based on a generalized concentration compactness principle, we will give some abstract conditions when the functional satisfies the (PS)$_c$ condition. Finally, based on the explicit form of the extremal function, we will obtain some existence results to the problem.

연구 동기 및 목표

• 임계 성장과 특이 가중치를 갖는 특이 쿼드라틱 타입 타원형 문제에 대한 비자명한 해의 존재성 및 비존재성을 확립하기.
• 클래식한 브레지스-니레버그 접근법을 p-라플라시안과 가중 치수 공간을 포함하는 비선형, 특이 설정으로 일반화하기.
• 가중 치수 공간에서 특이 가중치를 갖는 상황에서 리플라흐-콘드라코프 결과를 확장하는 새로운 컴 pact 임베딩 정리 증명하기.
• 일부 매개변수 영역에서 해의 비존재성을 입증하기 위해 포호자에브 타입 항등식 유도하기.
• 일반화된 농도-압축 원리를 통해 에너지 함수의 (PS)₇ 조건을 검증하고, 이를 통해 에너지 함수의 임계점을 증명하기.

제안 방법

• 클래식한 리플라흐-콘드라코프 정리의 일반화로서, 공간 $\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$ 에서 가중 $L^r$ 공간으로의 새로운 컴 pact 임베딩 결과 유도하기.
• 카프레리-코른-니레버그 부등식을 사용하여 에너지 함수 $E_\lambda(u)$ 가 $\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$ 상에서 잘 정의되고 $C^1$-연속임을 보장하기.
• 일부 매개변수 범위에 대해 해의 비존재성을 입증하기 위해 포호자에브 타입 항등식 수립하기.
• 특정 매개변수 제약 조건 하에서 에너지 함수의 (PS)₇ 조건을 검증하기 위해 일반화된 농도-압축 원리 적용하기.
• 가중 치수 부등식의 최적 함수를 기반으로 한 컷오프 함수 $v_\varepsilon$ 의 가족을 구성하여 마운틴 팠 수준 추정하기.
• 가장자리 함수 $U_{a,b}(r)$ 의 명시적 형태를 사용하여 에너지 함수 추정하고, 마운틴 팁 수준이 임계 임계값 $\frac{d}{n}S(a,b)^{n/(dp)}$ 보다 엄밀히 낮다는 것을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 가중치를 갖는 브레지스-니레버그 유형 문제는 $\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$ 공간 내에서 어떤 조건에서 비자명한 약한 해를 갖는가?
• RQ2 문제에 관련된 에너지 함수는 어떤 조건에서 (PS)₇ 조건을 만족하는가? 이는 변분 방법의 적용을 가능하게 한다.
• RQ3 매개변수 $a$, $b$, $c$, $p$ 는 해의 존재성 또는 비존재성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 최적 함수의 대칭성이 $a < 0$ 인 경우, 특히 (PS)₇ 조건의 유효성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 마운틴 팁 수준이 임계 임계값 $\frac{d}{n}S(a,b)^{n/(dp)}$ 보다 엄밀히 아래로 제한될 수 있는가? 이를 통해 비자명한 임계점의 존재를 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $1 < p < n$, $0 \leq a < \frac{n-p}{p}$, $a \leq b \leq a+1$, $q = p^*(a,b) = \frac{np}{n-dp}$ 이며 $d = 1+a-b \in (0,1]$ 이고 $c \leq \frac{n-p-ap}{p-1}$ 일 때, $0 < \lambda < \lambda_1$ 이면 $\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$ 내에 비자명한 해가 존재한다.
• 마운틴 팁 수준 $\max_{t \geq 0} E_\lambda(t v_\varepsilon)$ 는 충분히 작은 $\varepsilon$ 에 대해 $g(t_\varepsilon) < \frac{d}{n} S(a,b)^{n/(dp)}$ 를 만족하며, 이는 (PS)₇ 조건이 성립함을 보장한다.
• 모든 $p=2$, $\Omega = B_1(0)$, $a < \frac{n-2}{2}$, $a \leq b \leq a+1$, $c \leq n-2-2a$, 그리고 $0 < \lambda < \lambda_1$ 일 때, $\mathcal{D}_{a,R}^{1,2}(\Omega)$ 내에 비자명한 반지름 해가 존재한다.
• 모든 $a \geq 0$ 이고 $p=2$ 일 때, 최적 상수 $S(a,b)$ 는 반지름 최적 상수 $S_R(a,b)$ 와 같으며, 이는 최적 함수의 대칭성을 의미한다.
• 모든 $a < 0$ 일 때, $S(a,b) < S_R(a,b)$ 이며, 대칭성 붕괴를 나타내며, (PS)₇ 조건을 검증하는 것이 상당히 어려워진다.
• 비존재 결과는 포호자에브 타입 항등식을 통해 도출되며, 일부 매개변수 제약 조건 하에서는 해가 존재하지 않음을 보여준다.