[논문 리뷰] The space of $2$-generator postcritically bounded polynomial semigroups and random complex dynamics

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 21.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평면에서의 후행비판집합이 유계이고, 그에 연관된 무작위 복소 동역학을 가지는 2-생성자 다항식 반군을 조사한다. 후행비판집합이 유계이고, 하이퍼볼릭이며, 분리된 조르부 집합의 위치가 겹치는 매개변수들에 대해, 조르부 집합은 열린 집합 조건을 만족하거나 생성자의 조르부 집합이 일치한다. 이 외에는, 근방에서 조르부 집합의 하우스도르프 차원은 2보다 엄밀히 작고, 탈출률 함수는 분수적 특이성을 가진 허들 연속성을 보인다.

ABSTRACT

We investigate the dynamics of $2$-generator semigroups of polynomials with bounded planar postcritical set and associated random dynamics on the Riemann sphere. Also, we investigate the space ${\cal B}$ of such semigroups. We show that for a parameter $h$ in the intersection of ${\cal B}$, the hyperbolicity locus ${\cal H}$ and the closure of the disconnectedness locus (the space of parameters for which the Julia set is disconnected), the corresponding semigroup satisfies either the open set condition (and the Bowen's formula) or that the Julia sets of the two generators coincide. Also, we show that for such a parameter $h$, if the Julia sets of the two generators do not coincide, then there exists a neighborhood $U$ of $h$ in the full parameter space ${\cal P}^{2}$ such that for each parameter in $U$, the Hausdorff dimension of the Julia set of the corresponding semigroup is strictly less than 2. Moreover, we show that the intersection of the connectedness locus and ${\cal B}\cap {\cal H}$ has dense interior. By using the results on the semigroups corresponding to these parameters, we investigate the associated functions which give the probability of tending to $\infty$ (complex analogues of the devil's staircase or Lebesgue's singular functions) and complex analogues of the Takagi function.

연구 동기 및 목표

• 유계 평면 후행비판집합을 가진 2-생성자 다항식 반군의 공간과 그 동역학적 행동을 분석하기 위해.
• 특정한 결정론적 시스템에 존재하지 않는 무작위성에 의해 유도된 현상이 복소 동역학에서 어떻게 나타나는지 조사하기 위해.
• 반군 동역학에서 유래하는 디아블의 계단과 타카기 함수의 복소수 해석을 연구하기 위해.
• 이러한 반군에 의한 조르부 집합의 위상적 및 측도론적 구조를 특성화하기 위해.
• 조르부 집합의 하우스도르프 차원이 2보다 엄밀히 작아지는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 논문은 리만 구면에서 유한 생성 다항식 반군의 동역학을 활용하며, $ J(G) = \bigcup_{j=1}^m h_j^{-1}(J(G)) $ 를 통한 역방향 자기유사성에 초점을 맞춘다.
• 2-생성자 후행비판집합이 유계인 반군의 공간 $ \mathcal{B} $ 를 사용하고, 하이퍼볼릭 영역 $ \mathcal{H} $ 와 분리성의 폐쇄된 영역과의 교차를 분석한다.
• 생성자의 조르부 집합이 일치하거나 분리 조건을 만족할 경우, 조르부 집합의 구조를 특성화하기 위해 열린 집합 조건과 보우언의 공식을 적용한다.
• 탈출률 함수 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ 를 분석하며, 에르고딕 이론과 전이 연산자 기법을 사용하여 그 허들 연속성과 비상수성을 증명한다.
• 하우스도르프 거리에서의 조르부 집합 사상의 연속성과 파투 집합 내에서 구면 거리와 등연속성의 성질에 기반한 증명을 수행한다.
• 전이 연산자와 스펙트럼 이론을 사용하여, 탈출률 함수가 특정 $ \alpha $ 에 대해 $ C^\alpha $ 가 될 수 없음을 보이며, 이는 조르부 집합에서 분수적 특이성을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-생성자 다항식 반군에 대해 조건이 무엇이면 조르부 집합이 열린 집합 조건을 만족하거나 생성자의 조르부 집합이 일치하는가?
• RQ2 탈출률 함수 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ 는 조르부 집합에서 어떻게 행동하는가? 그 정규성은 동역학과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 생성자의 조르부 집합이 일치하지 않을 경우, 그 매개변수 근방에서 조르부 집합의 하우스도르프 차원이 2보다 엄밀히 작을 수 있는가?
• RQ4 무작위성에 의해 유도된 현상은 이러한 반군의 동역학에서 어떻게 나타나며, 결정론적 동역학과 어떻게 다를까?
• RQ5 이 설정에서 디아블의 계단과 타카기 함수의 복소수 해석은 어떤 성격을 가지는가?

주요 결과

• 매개변수 $ h $ 가 $ \mathcal{B} $, $ \mathcal{H} $, 그리고 분리성의 폐쇄된 영역의 교차에 속할 경우, 조르부 집합은 열린 집합 조건을 만족하거나 두 생성자의 조르부 집합이 일치한다.
• 생성자의 조르부 집합이 일치하지 않을 경우, $ h $ 를 포함하는 근방 $ U $ 가 존재하여, $ U $ 내 모든 매개변수에서 조르부 집합의 하우스도르프 차원은 2보다 엄밀히 작다.
• $ \mathcal{B} \cap \mathcal{H} $ 와 연결성의 위치의 교차는 $ \mathcal{B} \cap \mathcal{H} $ 에서 조밀한 내부를 가진다.
• 탈출률 함수 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ 는 $ \hat{\mathbb{C}} $ 에서 허들 연속이며, 점 $ z_0 \in J(g_j) $ 에서의 허들 지수는 $ -\frac{\log p_j}{\log \deg g_j} $ 이하로 위계가 제한된다.
• 함수 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ 는 $ \partial F_\infty(G) $ 나 $ \partial \hat{K}(G) $ 의 어떤 점의 이웃에서도 상수가 아니며, 이는 조르부 집합에서 분수적 특이성을 의미한다.
• 함수 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ 는 $ \alpha > -\frac{\log p_j}{\log \deg g_j} $ 인 경우 $ C^\alpha $ 에 속할 수 없으며, 이는 조르부 집합에서 비연속적이고 특이한 행동이 존재함을 확인한다.