[논문 리뷰] The space of associated metrics on a symplectic manifold

N. K. Smolentsev|ArXiv.org|2001. 08. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 43인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미분형식 다양체 위의 리만계량의 공간을 연구하며, 미분형식군 작용에 의한 몫공간의 곡률에 초점을 맞춘다. 수평상승을 이용하여 몫공간의 단면곡률에 대한 공식을 유도하고, 계량 변화에서 유도된 대칭 2차형식의 발산을 포함하는 새로운 곡률 보정항을 제안한다.

ABSTRACT

The spaces of Riemannian metrics on a closed manifold $M$ are studied. On the space ${\mathcal M}$ of all Riemannian metrics on $M$ the various weak Riemannian structures are defined and the corresponding connections are studied. The space ${\mathcal AM}$ of associated metrics on a symplectic manifold $M,ω$ is considered in more detail. A natural parametrization of the space ${\mathcal AM}$ is defined. It is shown, that ${\mathcal AM}$ is a complex manifold. A curvature of the space ${\mathcal AM}$ and quotient space ${\mathcal AM}/{\mathcal D}_ω$ is found. The finite dimensionality of the space of associated metrics of a constant scalar curvature with Hermitian Ricci tensor is shown.

연구 동기 및 목표

• 미분형식 다양체 위의 리만계량 공간의 기하적 구조를 이해하는 것.
• 계량에 대한 미분형식군 작용에 의한 몫공간의 곡률 성질을 분석하는 것.
• 단면곡률의 명시적 공식을 수평벡터장과 계량 변화에 따라 유도하는 것.
• 발산 연산자와 에너지 함수가 곡률 계산에 미치는 역할를 특성화하는 것.
• 계량 공간의 곡률과 몫공간의 곡률 사이의 관계를 대칭 2차형식의 발산을 포함하는 보정항을 통해 수립하는 것.

제안 방법

• 계량을 그에 대응하는 비회전 리만-레비치비타 접속으로 매핑하는 미분연산자를 정의하여 크리스토펠 기호의 변화를 캡처한다.
• 계량과 미분형식 구조를 사용하여 대칭 2차형식에 대한 수축과 발산 연산을 도입한다.
• 곡률 보정을 코딩하기 위해 텐서장의 발산과 수축을 포함하는 새로운 이항연산 {a, b}를 정의한다.
• 몫공간에서의 수평벡터장을 전체 계량공간으로 상승시켜 기저공간의 곡률을 계산한다.
• 에너지 연산자 Eg와 계량 변화의 미분형식 쌍대의 발산을 사용하여 수직부분공간 위로의 정규직교투영을 적용한다.
• 에너지 함수로 가중된 {a, b}의 발산의 적분을 포함하는 보정항을 더하여 몫공간의 단면곡률을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분형식군 작용에 의한 리만계량 공간의 몫공간의 단면곡률은 전체 계량공간의 곡률과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 이중형식 {a, b}의 발산이 몰공간의 곡률 보정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 계량공간 위의 수평벡터장은 전체 공간으로 어떻게 상승되며, 그 리이브라켓은 수직부분공간으로 어떻게 투영되는가?
• RQ4 Eg 연산자의 기하학적 의미는 무엇이며, 발산과 미분형식 구조와의 상호작용은 어떻게 되는가?
• RQ5 몰공간의 곡률는 에너지 함수와 계량 변화와 같은 내재 기하량으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 수평벡터장의 리이브라켓은 수직부분공간으로 다음 공식에 의해 투영된다: [a, b]_V = -α_g J grad E_g^{-1} div J {a, b}, 이는 곡률와 에너지 함수 간의 연결을 나타낸다.
• 몰공간의 단면곡률는 K(ā, b̄) = K(a, b) + (3/4) ||a ∧ b||^2 ∫_M (div J {a, b})(E_g^{-1}(div J {a, b})) dμ_g 로 주어지며, {a, b}의 발산에 의존하는 보정항을 포함한다.
• 곡률 공식의 보정항은 {a, b}의 발산에 대해 에너지 연산자의 역함수를 적용한 것으로, 비트리비어한 기하적 상호작용을 나타낸다.
• 계량 g에서의 수직부분공간은 f가 해밀토니안 함수일 때 h = α_g J grad f 형태의 2형식으로 구성되며, 이 부분공간으로의 투영은 Eg와 발산 연산자로 표현된다.
• 곡률 공식은 몰공간의 정상점에서 유효하여 군 작용 하에서 기하학적 구조가 잘 정의됨을 보장한다.
• 유도 과정은 전체 계량공간의 곡률과 몰공간의 곡률 사이에 대칭 2차형식 {a, b}의 발산을 통해 매개되는 정밀한 연결고리를 확립한다.