[논문 리뷰] The space of asymptotically conical self-expanders of mean curvature flow

Jacob Bernstein, Lu Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 12.

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한 줄 요약

이 논문은 평균 곡률 흐름 하에서 점점 원뿔형이 되는 자가확장체의 공간이 점점 원뿔형이 되는 함수들의 하올더 연속 함수 공간에 따라 매끄러운 반버누르흐 다양체가 됨을 증명한다. 주요 기여는 점점 원뿔형이 되는 자가확장체의 일반적인 비퇴도성(즉, 대부분의 이러한 자가확장체가 점점 원뿔형을 유지하는 비자명한 법선 자코비 장을 갖지 않음)을 증명하는 데 있다. 이는 무한대에서의 행동이 제어된 임bedding의 매개변수 공간에서 프레드홀름 이론과 은직함수정리의 응용을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We show that the space of asymptotically conical self-expanders of the mean curvature flow is a smooth Banach manifold. An immediate consequence is that non-degenerate self-expanders -- that is, those self-expanders that admit no non-trivial normal Jacobi fields that fix the asymptotic cone -- are generic in a certain sense.

연구 동기 및 목표

• 평균 곡률 흐름에서 점점 원뿔형이 되는 자가확장체의 공간의 전반적인 기하학적 구조를 이해하기 위해.
• 적절한 정규성 및 점점 원뿔형 조건 하에서 이 공간이 매끄러운 반버누르흐 다양체임을 보여주기 위해.
• 비퇴도성 자가확장체—즉, 점점 원뿔형을 유지하는 비자명한 자코비 장을 갖지 않는 자가확장체—가 위상적으로 일반적임을 확립하기 위해.
• 무한대에서의 행동이 제어된 점점 원뿔형 임bedding을 사용한 자가확장체의 매개변수화 프레임워크를 제공하기 위해.
• 무한대에서의 추적 사상에 의한 자가확장체 방정식의 선형화의 프레드홀름 성질을 분석하기 위해.

제안 방법

• 고정된 초표면 $\Gamma$ 에 대한 $C^{k,\alpha}_*$-점점 원뿔형 임bedding의 공간 $\mathcal{ACH}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 를 정의하고, 무한대에서의 블로우다운 조건을 설정한다.
• 같은 점점 원뿔형 매개변수화를 유도하는 임bedding들 간의 동치관계를 도입하여, 자가확장체의 몫공간 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 를 구성한다.
• 무한대에서의 점점 원뿔형 추적을 할당하는 사영사상 $\Pi$ 를 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 에 정의한다.
• 은직함수정리와 반버누르흐 공간 이론을 적용하여 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 가 $C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$ 에 따라 매끄러운 반버누르흐 다양체임을 보인다.
• 추적사상의 선형화 $D\Pi$ 를 분석하고, 그 핵이 점점 원뿔형을 유지하는 법선 자코비 장과 대응됨을 보인다.
• 스마일의 교차성 정리를 이용하여 퇴도성 자가확장체의 집합이 어디서도 조밀하지 않음을 유도하여, 일반적인 비퇴도성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 정규성 및 점점 원뿔형 조건 하에서 점점 원뿔형이 되는 자가확장체의 공간은 매끄러운 무한차원 다양체인가?
• RQ2 각 자가확장체에 대해 점점 원뿔형 링크 매개변수화를 할당하는 추적 사상 $\Pi$ 의 프레드홀름 지수는 무엇인가?
• RQ3 자가확장체는 어느 정도 비퇴도성인가—즉, 점점 원뿔형을 유지하는 비자명한 법선 자코비 장을 갖는가?
• RQ4 점점 원뿔형 링크의 매개변수화는 자가확장체 공간의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일반적인 자가확장체는 무한대에서 선형화된 연산자의 핵이 자명한 것으로 특징지어질 수 있는가?

주요 결과

• 점점 원뿔형이 되는 자가확장체의 공간 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 는 $C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$ 에 따라 매끄러운 반버누르흐 다양체이며, 좌표 도메인의 가чёт한 커버를 갖는다.
• 사영사상 $\Pi: \mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma) \to C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$ 는 지수 0인 매끄러운 프레드홀름 사상이다.
• $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 의 각 국소 좌표 차트는 $D\Pi$ 의 핵과 보완부로 분해된 모델 공간 위에서의 그래프 사상 $(z, \kappa) \mapsto (z, \psi_i(z, \kappa))$ 로 표현된다.
• 임의의 점 $[\mathbf{f}]$ 에서 $D\Pi$ 의 핵은 $\Sigma = \mathbf{f}(\Gamma)$ 상의 법선 자코비 장 공간과 동형이다. 이 자코비 장들은 점점 원뿔형을 유지한다.
• 점점 원뿔형을 유지하는 비자명한 자코비 장을 갖는 자가확장체의 집합은 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 내에서 어디서도 조밀하지 않다. 이는 비퇴도성 자가확장체가 일반적임을 의미한다.
• 일반적인 $C^{k,\alpha}$-정규 원뿔 $\mathcal{C}$ 에 대해, $\mathcal{C}$ 를 점점 원뿔형으로 갖는 모든 자가확장체는 비퇴도성이다. 즉, 원뿔을 고정하는 비자명한 법선 자코비 장을 갖지 않는다.