[논문 리뷰] The space of complete embedded maximal surfaces with isolated singularities in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space $ł^3$

Isabel Fernández, Francisco J. López외 1명|ArXiv.org|2003. 11. 19.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 3차원 루프츠-민코프스키 공간에서 유한한 고립된 콘형 특이점을 가진 완전한 임bedded 최대 표면이, 시공간 평면 위의 전체 그래프이자 평면 또는 반 카테노이드에 점 渐진적임을 증명한다. 이 논문은 이러한 그래프의 모듈리 공간 $τ_n$을 $3n+4$차원의 미분다양체로 구성하고, 위어슈트라스 데이터와 스핀orial 번들의를 통해 $3n-1$차원의 해석다양체로 나타내는 몫공간 $ς_n$을 식별한다. 수렴는 컴acts 집합에서의 균일 수렴과 등각 구조의 수렴으로 정의된다.

ABSTRACT

We show that a complete embedded maximal surface in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space $L^3$ with a finite number of singularities is, up to a Lorentzian isometry, an entire graph over any spacelike plane asymptotic to a vertical half catenoid or a horizontal plane and with conelike singular points. We study the space $G_n$ of entire maximal graphs over $\{x_3=0\}$ in $L^3$ with $n+1 \geq 2$ conelike singularities and vertical limit normal vector at infinity. We show that $G_n$ is a real analytic manifold of dimension $3n+4,$ and the coordinates are given by the position of the singular points in $R^3$ and the logarithmic growth at the end. We also introduce the moduli space $M_n$ of {\em marked} graphs with $n+1$ singular points (a mark in a graph is an ordering of its singularities), which is a $(n+1)$-sheeted covering of $G_n.$ We prove that identifying marked graphs differing by translations, rotations about a vertical axis, homotheties or symmetries about a horizontal plane, the corresponding quotient space $M_n$ is an analytic manifold of dimension $3n-1.$

연구 동기 및 목표

• β³에서 유한한 고립된 특이점을 가진 완전한 임bedded 최대 표면을 분류하기 위해.
• x₃=0 위의 전체 최대 그래프에 대해 $τ_n$의 모듈리 공간을 구성하고 분석하기 위해. 이 그래프는 $n+1$개의 특이점과 무한대에서 수직 극한 법선을 가진다.
• 환경 대칭에 의해 마킹된 그래프의 몫공간 $ς_n$을 $3n-1$차원 해석다양체로 식별하기 위해.
• τ_n에서의 수렴이 컴acts 부분집합에서의 균일 수렴과 등각 구조 및 위어슈트라스 데이터의 수렴과 등가임을 증명하기 위해.

제안 방법

• β³에서 최대 표면의 위어슈트라스 표현을 사용하여 유리형 데이터와 해석 1형식을 통해 그래프를 매개변수화하기 위해.
• 콘형 특이점에 대한 슈바르츠 반사법을 적용하여 표면을 완전한 최대면으로 확장하고, 이론을 대수기하학과 연결하기 위해.
• 특이점의 위치와 무한대에서의 상대적 성장률을 전역 해석좌표로 사용하여, $τ_n$을 $3n+4$차원의 미분다양체로 정의하기 위해.
• 특이점을 마킹함으로써 $τ_n$의 $(n+1)$-겹 커버링인 공간 $ς_n$을 구성하고, 그 후 환경 대칭(이동, 회전, 동차, 반사)에 대해 몫을 취하기 위해.
• $ς_n$에 위어슈트라스 데이터 공간으로의 사상 $ς_s_2$를 통해 해석다양체의 구조를 부여하고, 이것이 해석다양체의 암시적 사상임을 보여주기 위해.
• 스핀orial 번들의 ${\cal S}_n$을 사용하여 $ς_n$을 위어슈트라스 데이터의 모듈리 공간과 동일시함으로써, 그 해석다양체의 구조를 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 β³에서 유한한 고립된 콘형 특이점을 가진 완전한 임bedded 최대 표면의 모듈리 공간의 전반적인 구조는 어떠한가?
• RQ2 이러한 표면의 수렴은 그들의 등각 구조와 위어슈트라스 데이터의 수렴과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 특이점이 $n+1$개인 마킹된 그래프의 모듈리 공간은 환경 대칭에 의해 몫을 취한 후에도 해석다양체의 구조를 유지하는가?
• RQ4 환경 등급변환과 동차변환에 의해 다른 그래프를 고려할 때, 이러한 표면의 모듈리 공간의 차원은 얼마인가?
• RQ5 마킹된 모듈리 공간에서의 사영 사상이 대칭 그래프를 제외한 영역에서 해석다양체의 커버링 맵인가?

주요 결과

• β³에서 유한한 고립된 특이점을 가진 완전한 임bedded 최대 표면은, 콘형 특이점이 있으며, 어떤 시공간 평면 위의 전체 그래프이자 평면 또는 반 카테노이드에 점 渐진적이다.
• $n+1 \geq 2$개의 특이점과 무한대에서 수직 극한 법선을 가진 전체 최대 그래프의 모듈리 공간 $τ_n$은 $3n+4$차원의 미분다양체이다.
• τ_n에서의 수렴은 ${ x_3=0}$의 컴acts 부분집합에서 그래프의 균일 수렴과 등각 구조 및 위어슈트라스 데이터의 수렴과 등가이다.
• $n+1$개의 특이점을 가진 마킹된 그래프의 모듈리 공간 $ς_n$은 $τ_n$의 $(n+1)$-겹 커버링이며, 환경 대칭에 의해 몫을 취한 공간 $ς_n$은 $3n-1$차원의 해석다양체이다.
• $ς_n$은 $τ_n$에 속한 그래프의 위어슈트라스 데이터 모듈리 공간과 관련된 스핀orial 번들의 ${\cal S}_n$과 동일시될 수 있으며, 자연스러운 해석다양체의 구조를 제공한다.
• $ς_s_1: ς_n \to \u03c4_n$의 사상은 대칭 그래프를 제외한 영역에서 $(n+1)!$겹의 해석다양체 커버링 맵임을 보여주며, 이는 모듈리 공간의 전반적인 해석다양체 구조를 확인한다.