[논문 리뷰] The space of Penrose tilings and the non-commutative curve with homogeneous coordinate ring k/(y^2)

S. Paul Smith|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 펜로즈 타일링의 공간과 비가환 좌표환 $ℂ\langle x,y\rangle/(y^2)$로 정의된 비가환 곡선 사이에 비가환 대수기하학적 대응을 수립한다. 등장하는 등거리성 불변 타일링은 이 곡선 위의 쿠르츠켈러 층의 동형 사상에 대응하며, 이 층의 범주와 노름 폐쇄가 펜로즈 타일링에 대한 콘느스의 AF 대수인 비가환 보편 대수의 모듈러스 범주 사이에 동치가 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We construct a non-commutative scheme that behaves as if it is the space of Penrose tilings of the plane. Let k be a field and B=k(y^2). We consider B as the homogeneous coordinate ring of a non-commutative projective scheme. The category of "quasi-coherent sheaves" on it is, by fiat, the quotient category QGr(B):=Gr(B)/Fdim(B) and the category of coherent sheaves on it is qgr(B):=gr(B)/fdim(B), where gr(B) is the category of finitely presented graded modules and fdim(B) is the full subcategory of finite dimensional graded modules. We show that QGr B is equivalent to Mod S, the category of left modules over the ring S that is the direct limit of the directed system of finite dimensional semisimple algebras S_n=M_{f_n}(k) + M_{f_{n-1}}(k) where f_{n-1} and f_n$ are adjacent Fibonacci numbers and the maps S_n o S_{n+1} are (a,b)--->(diag(a,b),a). When k is the complex numbers, the norm closure of S is the C^*-algebra Connes uses to view the space of Penrose tilings as a non-commutative space. Objects in QGr B have projective resolutions of length at most one so the non-commutative scheme is, in a certain sense, a smooth non-commutative curve. Penrose tilings of the plane are in bijection with infinite sequences z=z_0z_1 ... of 0s and 1s with no consecutive 1s. We associate to each such sequence a graded B-module, a "point module", that becomes a simple object O_z in QGr B that we think of as a "skyscraper sheaf" at a "point" on this non-commutative curve. Tilings T_z and T_{z'} determined by two such sequences are equivalent, i.e., the same up to a translation on R^2, if and only if O_z is isomorphic to O_{z'}. A result of Herbera shows that Ext^1(O_z,O_{z'}) is non-zero for all z and z'. This as an algebraic analogue of the fact that every equivalence class of tilings is dense in the set of all Penrose tilings.

연구 동기 및 목표

• 펜로즈 타일링의 공간에 대한 비가환 대수기하학적 모델을 수립하기 위해.
• 개별 펜로즈 타일링이 비가환 곡선의 '점'에 대응함을 보여주기 위해, 이 곡선의 동차 좌표환은 $\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$이다.
• 두 타일링이 등거리일 필요충분조건이 그에 대응하는 점의 스크라이브러 층이 범주 $\operatorname{QGr}B$ 내에서 동형일 것임을 증명하기 위해.
• 이 비가환 곡선 위의 준층의 범주가 비가환 보편 대수의 모듈러스 범주와 동치임을 보여주기 위해.
• 직접 극한과 노름 폐쇄를 통해 이 대수적 구조를 펜로즈 타일링의 공간에 대한 콘느스의 AF 대수와 연결하기 위해.

제안 방법

• 비가환 대수기하학을 사용하여 $B = \mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$에 대해 $\operatorname{Proj}_{nc}B$를 정의하고, 이를 비가환 스킴로 간주한다.
• 준층의 범주를 모델링하기 위해 $\operatorname{QGr}B = \operatorname{Gr}B / \operatorname{Fdim}B$를 정의한다.
• 점 선택과 반복적 조합을 통해 펜로즈 타일링과 인접한 1이 없는 0과 1의 무한 수열 사이의 대응을 수립한다.
• 연결 사상 $\phi_n(a,b) = \left(\begin{smallmatrix}a&0\\0&b\end{smallmatrix}\right), a)$를 갖는 유한 차원 $C^*$-대수의 순서체 $S_n = M_{f_n}(\mathbb{C}) \oplus M_{f_{n-1}}(\mathbb{C})$를 구성하고, 그 직접 극한을 통해 비가환 보편 대수 $S$를 얻는다.
• 범주 동치 $\operatorname{QGr}(\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)) \cong \operatorname{Mod}S$를 증명하며, $\mathcal{O}$는 $S$로 매핑되고, $S$의 노름 폐쇄가 콘느스의 AF 대수임을 보인다.
• 브라텔리 다이어그램에서의 반무한 경로와 점 모듈러스 수열을 사용하여 점 모듈러스를 분류하고, 이를 펜로즈 수열의 尾에 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 기하학을 사용하여 펜로즈 타일링의 공간을 어떻게 대수적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 펜로즈 타일링과 비가환 대수의 모듈러스 사이의 범주적 대응은 무엇인가?
• RQ3 펜로즈 타일링의 등거리성 불변 부분집합은 비가환 설정에서 층의 동형과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 비가환 곡선 $\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$ 위의 준층의 범주의 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ5 유한 차원 대수의 직접 극한은 펜로즈 타일링의 공간에 대한 콘느스의 AF 대수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 비가환 곡선 $\operatorname{Proj}_{nc}(\mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2))$ 위의 준층의 범주는 비가환 보편 대수 $S$의 모듈러스의 범주와 동치이며, 이는 $S_n = M_{f_n}(\mathbb{C}) \oplus M_{f_{n-1}}(\mathbb{C})$와 사상 $\phi_n(a,b) = \left(\begin{smallmatrix}a&0\\0&b\end{smallmatrix}\right), a)$의 체계의 직접 극한이다.
• 대수 $S$의 노름 폐쇄는 알랭 콘느스가 펜로즈 타일링의 공간에 연결한 AF 대수이다.
• 두 펜로즈 타일링이 등거리일 필요충분조건이 그에 대응하는 점의 스크라이브러 층이 $\operatorname{QGr}B$ 내에서 동형일 것임을 보였다.
• $\operatorname{qgr}B$는 비가환 곡선 위의 코herent 준층의 범주이며, $S$ 위의 유한 생성 모듈러스의 범주와 동치이다. 즉, $\operatorname{qgr}B \cong \operatorname{mod}S$이다.
• 비가환 곡선 $B = \mathbb{C}\langle x,y\rangle/(y^2)$의 점 모듈러스는 $a_i = \infty$이면 $ye_i = 0$이고, $a_i \neq \infty$ 이면 $a_{i+1} = \infty$인 수열 $a_0, a_1, \ldots$로 분류되며, 꼬리 동치에 의해 동치 관계가 정의된다.
• 점 모듈러스 수열에서 브라텔리 다이어그램의 정점 0에서 시작하는 반무한 경로로의 전사 사상 $\Psi$가 존재하며, 이의 섬세한 구조는 $\mathbb{C}$와 $\{\infty\}$의 곱으로 표현되며, 이는 비가환 공간의 구조를 반영한다.