[논문 리뷰] The space of rational maps on P^1

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|1996. 09. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 $\ mathbb{P}^1$ 위의 degree-$d$ 유리 함수의 모듈리 공간 $\ mathcal{M}_d$ 가 $\ mathbb{Z}$ 위의 아핀 정수 계량 스킴으로 존재함을 증명하며, $\ mathcal{M}_2 \cong \mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ 이고 기하학적 불변 이론을 통한 자연스러운 컴팩티피케이션은 $\ mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ 와 동형임을 보인다. 결과는 $\ mathbb{C}$ 위에서의 밀너의 결과를 일반화하며, $\ mathbb{P}^1$ 위의 동역학계를 연구하기 위한 기초적인 산술기하적 프레임워크를 제공한다. 주요 기여는 $\ mathbb{Z}$ 위의 스킴으로서 모듈리 공간 $\ mathcal{M}_d$ 의 구축 및 분류이며, $d=2$ 에서의 명시적 계산을 포함한다. 논문은 유리 함수 위에 대한 $\ mathrm{SL}_2$ 의 코너지션 작용을 사용하고 기하학적 불변 이론을 적용하여 몫 공간을 구축한다.

ABSTRACT

The set of morphisms $\f:\PP^1 o\PP^1$ of degree $d$ is parametrized by an affine open subset $\Rat_d$ of $\PP^{2d+1}$. We consider the action of~$\SL_2$ on $\Rat_d$ induced by the {\it conjugation action\/} of $\SL_2$ on rational maps; that is, $f\in\SL_2$ acts on~$\f$ via $\f^f=f^{-1}\circ\f\circ f$. The quotient space $\M_d=\Rat_d/\SL_2$ arises very naturally in the study of discrete dynamical systems on~$\PP^1$. We prove that~$\M_d$ exists as an affine integral scheme over~$\ZZ$, that $\M_2$ is isomorphic to~$Å^2_\ZZ$, and that the natural completion of~$\M_2$ obtained using geometric invariant theory is isomorphic to~$\PP^2_\ZZ$. These results, which generalize results of Milnor over~$\CC$, should be useful for studying the arithmetic properties of dynamical systems.

연구 동기 및 목표

• degree-$d$ 유리 함수의 모듈리 공간 $\mathcal{M}_d$ 를 $\ mathbb{Z}$ 위의 스킴으로 구축하여, $\ mathbb{C}$ 위에서의 고전적 결과를 일반화한다.
• $\mathcal{M}_2$ 가 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ 와 동형임을 증명하여, 코너지션에 대해 고려한 degree-2 유리 함수의 공간에 대한 완전한 산술적 기술을 제공한다.
• 기하학적 불변 이론을 통한 $\ mathcal{M}_2$ 의 자연스러운 컴팩티피케이션이 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ 와 동형임을 보이며, 이는 완전한 모듈리 이론적 컴팩티피케이션을 제공한다.
• $\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ 의 몫이 $\ mathbb{Z}$ 위의 아핀 정수 계량 스킴으로 존재함을 확립하여, $\ mathbb{P}^1$ 위의 동역학계의 산술 연구를 가능하게 한다.

제안 방법

• degree-$d$ 유리 함수의 공간 $\mathrm{Rat}_d$ 를 $\ mathbb{P}^{2d+1}_{\mathbb{Z}}$ 에서 결과식 초곡면의 여집합으로 매개변수화하며, $\mathrm{Res}(F_a, F_b) \neq 0$ 으로 정의된다.
• $\mathrm{SL}_2$ 가 $\mathrm{Rat}_d$ 에 코너지션을 통해 작용함: $\phi^f = f^{-1} \circ \phi \circ f$, 이는 차수를 유지하며 유리 함수 위에 동치 관계를 유도한다.
• 기하학적 불변 이론(GIT)을 사용하여 몫 $\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ 를 구축하며, 이가 $\ mathbb{Z}$ 위의 아핀 정수 계량 스킴으로 존재함을 증명한다.
• $d=2$ 에서는 $\ mathrm{SL}_2$-작용의 불변량 $\sigma_1, \sigma_2$ 를 명시적으로 계산하여, $\ mathcal{M}_2 \cong \mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ 를 $\ mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ 로의 비유계 사상으로 보여준다.
• 이산 평가환론 이론과 특수화를 사용하여 $\ mathcal{M}_2^s$ 에서 $\ mathbb{P}^2$ 로의 비유계 사상을 사상으로 확장하며, 이것이 동형임을 증명한다.
• 유한성 및 정규성 기준(예: [3, II.4.8(e)] 및 [6, I.1.10])을 적용하여, 정수 스킴 사이의 유한, 비유계, 올바른 사상이 동형임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 몫 공간 $\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ 는 $\ mathbb{Z}$ 위의 잘 정의된 스킴로 존재하는가? 만약 그렇다면 기하학적 및 산술적 성질은 무엇인가?
• RQ2 $\mathcal{M}_2$ 는 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ 와 동형인가? 그리고 GIT 를 통한 자연스러운 컴팩티피케이션은 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ 와 동형인가?
• RQ3 컴팩티피케이션된 모듈리 공간 $\mathcal{M}_2^s$ 에서 $\mathbb{P}^2$ 로의 비유계 사상은 사상으로 확장될 수 있는가? 그리고 그것은 동형인가?
• RQ4 $\mathrm{SL}_2$-코너지션 작용은 $\ mathbb{P}^1$ 위의 동역학계의 모듈리와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• degree-$d$ 유리 함수의 모듈리 공간 $\ mathcal{M}_d$ 는 $\ mathbb{P}^1$ 위에서 $\ mathbb{Z}$ 위의 아핀 정수 계량 스킴으로 존재하며, 몫 $\ mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ 로 구성된다.
• $d=2$ 에서 모듈리 공간 $\ mathcal{M}_2$ 는 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$ 와 동형이며, 불변량 $\sigma_1$ 과 $\sigma_2$ 를 통해 명시적으로 구성된다.
• 기하학적 불변 이론을 통한 $\ mathcal{M}_2$ 의 자연스러운 컴팩티피케이션은 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ 와 동형이며, 무한원에서의 초곡면으로서 모듈리 공간을 완성한다.
• 비유계 사상 $\sigma: \mathcal{M}_2^s \to \mathbb{P}^2$ 는 동형임을 증명하였으며, 이는 유한성, 올바름, 준유한성, 타겟의 정규성 및 기하학적 점에서의 전사성으로 증명된다.
• 구성은 $\ mathbb{C}$ 위에서의 밀너의 결과를 $\ mathbb{Z}$ 위의 산술적 설정으로 일반화하며, 수론적 및 산술적 동역학 응용을 가능하게 한다.
• 증명은 이산 평가환론을 사용한 특수화 기법과 소수 모듈로 감소에 따른 불변량의 행동에 의존하여 컴팩티피케이션의 잘 정의성을 보장한다.