[논문 리뷰] The spatially inhomogeneous Hopf bifurcation induced by memory delay in a memory-based diffusion system

Yongli Song, Yahong Peng외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 01.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기억 기반 확산을 갖는 반응-확산 시스템에서 비선형 확산 항에 지연이 포함된 경우에 지연 유도 공간 비균일 허프 비선형 분기 분석을 위한 새로운 정규형 알고리즘을 개발한다. 이 방법을 통해 1차 모드 및 2차 모드 허프 비선형 분기의 방향성과 안정성을 결정할 수 있으며, 수치 결과는 안정적인 공간 비균일 주기적 해의 존재를 확인한다. 특히 불안정한 2차 모드에서 안정적인 1차 모드 패턴으로의 전이가 관찰된다.

ABSTRACT

The memory-based diffusion systems have wide applications in practice. Hopf bifurcations are observed from such systems. To meet the demand for computing the normal forms of the Hopf bifurcations of such systems, we develop an effective new algorithm where the memory delay is treated as the perturbation parameter. To illustrate the effectiveness of the algorithm, we consider a diffusive predator-prey system with memory-based diffusion and Holling type-II functional response. By employing this newly developed procedure, we investigate the direction and stability of the delay-induced mode-1 and mode-2 Hopf bifurcations. Numerical simulations confirm our theoretical findings, that is the existence of stable spatially inhomogeneous periodic solutions with mode-1 and mode-2 spatial patterns, and the transition from the unstable mode-2 spatially inhomogeneous periodic solution to the stable mode-1 spatially inhomogeneous periodic solution.

연구 동기 및 목표

• 반응-확산 시스템에서 비선형 기억 기반 확산과 확산 항에 지연이 존재하는 경우 정규형 계산 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 기억 지연에 의해 유도되는 공간 비균일 허프 비선형 분기 분석이 가능한 체계적인 알고리즘을 개발하기 위해.
• 메모리 기반 확산을 갖는 확산성 포식자-피식자 모델에 알고리즘을 적용하기 위해.
• 기억 지연에 의해 유도된 1차 모드 및 2차 모드 허프 비선형 분기의 방향성과 안정성을 결정하기 위해.
• 공간 비균일 주기적 해의 존재 및 이들 간의 전이에 대한 이론적 결과를 수치적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 저자는 기존의 정규형 알고리즘을 비선형 확산 항과 확산 성분 내 지연을 다룰 수 있도록 일반화하였으며, 기억 지연 τ를 변동 매개변수로 간주한다.
• 양성 평형 상태에서 특성 방정식을 유도하고, 1차 모드 및 2차 모드 분기의 임계 지연 값 τ₁,₀ ≈ 5.1033 및 τ₂,₀ ≈ 1.8398를 계산한다.
• 이 방법은 비선형성과 확산 항 내 지연에 적응된 체계적 절차를 통해 중심다양체 및 정규형 계수 K₁ 및 K₂를 계산한다.
• 허프 비선형 분기의 방향성과 안정성은 K₁ 및 K₂의 부호에 의해 결정되며, K₁ > 0 및 K₂ < 0는 초임계적이고 안정적인 분기를 나타낸다.
• 스пат리오토이널 역학을 시각화하고 이론적 예측을 검증하기 위해 특정 매개변수를 사용한 전체 시스템을 대상으로 수치 시뮬레이션을 수행한다.
• 알고리즘은 기억 기반 확산을 갖는 포식자-피식자 모델에 적용되었으며, d₂₁ 및 τ를 변화시켜 분기 곡선과 패턴 전이를 탐색한다.

Figure 1: Stability region and Hopf bifurcation curves in $d_{21}-\tau$ plane. The dotted region is the stability region and $\tau=\tau_{k,0},k=1,2,3$ , are Hopf bifurcation curves. Hopf bifurcation curves $\tau=\tau_{1,0}$ and $\tau=\tau_{2,0}$ intersect at the point $P(4.1354,4.0292)$ . The points

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기억 지연이 존재하는 반응-확산 시스템에서 비선형 기억 기반 확산 항을 갖는 허프 비선형 분기의 정규형은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 기억 지연에 의해 유도된 1차 모드 및 2차 모드 공간 비균일 허프 비선형 분기의 방향성과 안정성은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 서로 다른 공간 패턴(1차 모드 및 2차 모드)을 갖는 안정적인 공간 비균일 주기적 해는 해석적으로도 수치적으로도 확인 가능할 수 있는가?
• RQ4 지연 τ가 임계 값 이상으로 증가함에 따라 다양한 공간 패턴 간에 발생하는 역학적 전이 과정는 어떠한가?
• RQ5 1차 모드 및 2차 모드 허프 비선형 분기 간의 상호작용은 복잡한 역학, 예를 들어 패턴 전이 또는 준주기적 행동의 발생을 어떻게 유도하는가?

주요 결과

• τ₁,₀ ≈ 5.1033에서 발생하는 1차 모드 공간 비균일 허프 비선형 분기는 초임계적이며 안정적이며, K₁ ≈ 0.0597 > 0 및 K₂ ≈ -1.5624 < 0를 만족한다.
• τ₂,₀ ≈ 1.8398에서 발생하는 2차 모드 공간 비균일 허프 비선형 분기도 초임계적이며 안정적이며, K₁ ≈ 0.1733 > 0 및 K₂ ≈ -2.2283 < 0를 만족한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 τ > τ₁,₀ 및 τ > τ₂,₀ 인 경우 각각 1차 모드 및 2차 모드 공간 패턴을 갖는 안정적인 공간 비균일 주기적 해의 존재가 확인된다.
• τ ≈ 5.2 및 d₂₁ ≈ 4.3일 때, 불안정한 2차 모드에서 안정적인 1차 모드 공간 비균일 주기적 해로의 전이가 수치적으로 관찰된다.
• 2차 모드에서 1차 모드 패턴으로의 전이 과정에서 일시적으로 불안정한 준주기적 패턴이 관찰되어 双허프 점 근처에서 복잡한 역학이 존재함을 시사한다.
• 1차 모드 및 2차 모드 허프 비선형 분기의 상호작용은 패턴 전이 및 이중 또는 삼중 차원의 불변 토러스의 잠재적 발생을 포함한 풍부한 역학을 유도한다.

Figure 4: The spatial-temporal dynamics of system ( 3.1 ) with the parameters $a=1,~{}b=\frac{3}{10},~{}c=\frac{1}{10},~{}d_{11}=\frac{6}{10},~{}d_{22}=\frac{8}{10},~{}\ell=2$ and $\left(d_{21},\tau\right)$ being the point $P_{4}(4.3,5.2)$ of Fig. 1 far from the Hopf bifurcation curves. Pattern tran