[논문 리뷰] The spectra of generalized Paley graphs of $(q^\ell+1)$-th powers and applications

Ricardo A. Podestá, Denis E. Videla|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 08.

Finite Group Theory Research참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 $\mathbb{F}_{q^m}$ 내에서 $(q^{u}+1)$-승을 기반으로 하는 새로운 일반화된 펠레이 그래프의 가족을 제안하며, 그들의 정확한 스펙트럼과 에너지를 계산하고, 정수성, 강한 정규성, 비이분할성임을 증명한다. 주요 기여는 모든 특성에서 무한한 정수 라마누잔 그래프의 가족을 구성하고, 지수 $q^\ell+1$ 에 대해 워링의 문제를 해결함으로써 $g(q^\ell+1, q^m) = 1$ 또는 $2$ 임을 보이는 것이다. 결과적으로 등에너지이지만 스펙트럼이 다른 그래프들이 유도되며, 명시적인 이하라 제타 함수도 도출된다.

ABSTRACT

We consider a special class of generalized Paley graphs over finite fields, namely the Cayley graphs with vertex set $\mathbb{F}_{q^m}$ and connection set the nonzero $(q^\ell+1)$-th powers in $\mathbb{F}_{q^m}$, as well as their complements. We explicitly compute the spectrum and the energy of these graphs. As a consequence, the graphs turn out to be (with trivial exceptions) simple, connected, non-bipartite, integral and strongly regular, of pseudo or negative Latin square type. By using the spectral information we compute several invariants of these graphs. We exhibit infinitely many pairs of equienergetic non-isospectral graphs. As applications, on the one hand we solve Waring's problem over $\mathbb{F}_q^m$ for the exponents $q^\ell+1$, for each $q$ and for infinitely many values of $\ell$ and $m$. We obtain that the Waring's number $g(q^\ell+1,q^m)=1$ or $2$, depending on $m$ and $\ell$, thus solving some open cases. On the other hand, we construct infinite towers of Ramanujan graphs in all characteristics. Finally, we give the Ihara zeta functions of these graphs.

연구 동기 및 목표

• 유한체 $\mathbb{F}_{q^m}$ 내에서 $(q^\\ell+1)$-승으로 정의된 새로운 종류의 일반화된 펠레이 그래프의 스펙트럼적 및 구조적 성질을 연구한다.
• 모든 특성에서 무한한 정수성, 비이분할성, 라마누잔 그래프의 가족을 구성한다.
• 지수 $q^\ell+1$ 에 대해 $\mathbb{F}_{q^m}$ 상에서 워링의 문제를 해결하고, 워링 수 $g(q^\ell+1, q^m)$ 를 결정한다.
• 이러한 구성 방식을 통해 무한한 정수성, 등에너지, 비이소스펙트럴 그래프의 쌍을 생성한다.
• 이 그래프와 그 여집합의 이하라 제타 함수를 계산하고, 제타 함수 항등식을 통해 복잡도를 도출한다.

제안 방법

• 정점 집합이 $\mathbb{F}_{q^m}$ 이고 연결 집합이 $\mathbb{F}_{q^m}^*$ 내의 영이 아닌 $(q^\ell+1)$-승인 카일리 그래프 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 를 정의한다.
• 이차 형식 $Q_{\gamma,\ell}(x) = \operatorname{Tr}_{q^m/q}(\gamma x^{q^\ell+1})$ 에 대한 지수 합을 사용하여 고유값과 중복도를 계산한다.
• 유한체 위에서 이차 형식의 질량과 유형에 관한 기존 결과를 적용하여 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 의 스펙트럼을 분류한다.
• 스펙트럼의 쌍대성과 고유값의 보완성 원리를 활용하여 여집합 그래프 $\bar{\Gamma}_{q,m}(\ell)$ 의 스펙트럼을 유도한다.
• 이하라 제타 함수의 행렬식 공식 $\zeta_\Gamma(t)^{-1} = (1-t^2)^{e-n} \prod_{i=1}^n Q(\lambda_i, t)$ 과 $Q(s,t) = 1 - st + (k-1)t^2$ 을 사용한다.
• 키르히호프의 공식을 활용하여 제타 함수와 고유값 데이터를 이용해 복잡도 $K(\Gamma)$ 를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 $\mathbb{F}_{q^m}$ 내에서 $(q^\ell+1)$-승으로 정의된 카일리 그래프 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 의 스펙트럼은 무엇인가?
• RQ2 어떤 매개변수 조건에서 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 이 라마누잔 그래프가 되며, 모든 특성에서 이러한 그래프를 구성할 수 있는가?
• RQ3 워링의 수 $g(q^\ell+1, q^m)$ 는 무엇이며, 무한히 많은 $q$, $\ell$, $m$ 에 대해 1 또는 2 와 같을까?
• RQ4 이 구성 방식을 통해 무한한 정수성, 등에너지, 비이소스펙트럴 그래프의 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ5 그래프 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 와 그 여집합의 명시적 이하라 제타 함수 및 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 그래프 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 는 정수성, 강한 정규성, 비이분할성(비자명한 경우 제외)을 가지며, $\ell = m/2$ 인지 여부에 따라 정확히 2개 또는 3개의 서로 다른 고유값을 가진다.
• $\ell \neq m/2$ 인 경우 스펙트럼은 $\{[k]^1, [\upsilon]^{m_\upsilon}, [\mu]^{m_\mu}\}$ 로 표현되며, 정수 고유값 $k$, $\upsilon$, $\mu$ 와 그들의 중복도 $m_\upsilon$, $m_\mu$ 를 포함한다.
• 워링의 수 $g(q^\ell+1, q^m)$ 는 $m$ 이 홀수이면 1, 짝수이면 2이며, 무한히 많은 $q$, $\ell$, $m$ 에 대해 열려 있던 케이스를 해결한다.
• 논문은 모든 특성에서 무한한 정수 라마누잔 그래프의 가족을 구성하며, 이중 비이분할성인 경우도 포함한다.
• 명시적인 이하라 제타 함수가 도출되었으며, $\zeta_\Gamma(t)^{-1}$ 이 고유값에 대한 곱으로 $Q(s,t) = 1 - st + (k-1)t^2$ 을 사용하여 표현된다.
• 복잡도 $K(\Gamma)$ 는 $\frac{1}{q^m}(k - \upsilon)^{m_\upsilon}(k - \mu)^{m_\mu}$ 로 계산되었으며, 제타 함수의 극한을 통한 검증이 이루어졌다.