[논문 리뷰] The spectral determinations of the multicone graphs Kw+mCn

Ali Zeydi Abdian|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 25.

Graph theory and applications참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $w, m \neq 1$ 이고 $n \neq 6$ 인 조건에서 완전 그래프 $K_w$ 와 $m$ 개의 서로소 사이클 $C_n$ 의 결합으로 이루어진 다이콘 그래프가 인접 스펙트럼과 라플라스 스펙트럼에 의해 결정됨을 증명한다. 또한 $n=3$ 인 경우 이러한 그래프의 여집합이 인접 스펙트럼에 의해 결정됨을 보이며, 동스펙트럼 그래프가 완전한 조건을 설정한다. 결과적으로 이는 휠 그래프를 초월하는 새로운 유형의 다이콘 그래프에 대해 스펙트럼 특성화를 확장한다.

ABSTRACT

The main goal of the paper is to characterize new classes of multicone graphs which are determined by both adjacency and Laplacian spectra. A multicone graph is defined to be the join of a clique and a regular graph. A wheel graph obtained from the join of a complete graph on a vertex with a cycle. A question about when wheel graphs are determined by their adjacency spectra is still unsolved. So, any indication about the determinations of these graphs with respect to their adjacency spectra can be an interesting and important problem. In [Y. Zhang, X. Liu, and X. Yong: Which wheel graphs are determined by their Laplacian spectra?. Comput. Math. Appl., 58 (2009) 1887{1890] and [M.-H. Liu: Some graphs determined by their (signless) Laplacian spectra. Czech. Math. J., 62, (2012) 1117{1134] it have been shown that except for, the wheel graph of order seven, all wheel graphs are determined by their Laplacian spectra and wheel graphs are determined by their signless Laplacian spectra, respectively. In this study, we present new classes of connected multicone graphs which are a natural generalization of wheel graphs and we show that these graphs are determined by their adjacency spectra as well as their Laplacian spectra. Also, we show that complement of some of these graphs are determined by their adjacency spectra. In addition, we give a necessary and sufficient condition for perfecting graphs cospectral with presented graphs in the paper. Finally, we pose two problems for further work.

연구 동기 및 목표

• 다른 휠 그래프에 비해 아직 부분적으로 미해결된 스펙트럼 결정 문제를 일반화하기 위해 인접 스펙트럼과 라플라스 스펙트럼에 의해 결정되는 새로운 다이콘 그래프 유형을 특성화하는 것.
• 다이콘 그래프의 여집합의 스펙트럼 성질을 조사하는 것.
• 동스펙트럼 그래프가 완전한 데 필요한 필수 및 충분조건을 설정하는 것.
• 미래 연구를 위한 열린 문제를 제안하는 것 — 특히 부호 없는 라플라스 스펙트럼과 여집합 스펙트럼에 관한 것.

제안 방법

• $w$ 에 대한 수학적 귀납법을 사용하여 $K_w \triangledown mC_n$ 의 라플라스 스펙트럼을 유도한다.
• 특히 $\operatorname{Spec}_L(C_n) = 2 - 2\cos(2\pi k/n)$ 인 사이클 $C_n$ 의 알려진 스펙트럼 공식을 적용한다.
• 그래프의 결합 연산 $G \triangledown H$ 를 사용하여 $K_w$ 와 $mC_n$ 에서 다이콘 그래프를 구성하며, 결합의 스펙트럼 성질을 활용한다.
• 만약 $\operatorname{Spec}_L(G) = \operatorname{Spec}_L(H)$ 이고 $G$ 가 두 그래프의 결합이라면, 스펙트럼 유일성 조건 하에 $H$ 는 반드시 $G$ 와 동형이어야 한다는 사실을 활용한다.
• 로바슈의 완전 그래프 정리와 버지의 추측을 적용하여 동스펙트럼 그래프의 유도 부분그래프와 완전성의 성질을 분석한다.
• $\overline{mC_n}$ 의 구조를 분석하여 $n$ 이 짝수거나 $n=3$ 인 경우 $\overline{K_w \triangledown mC_n}$ 에는 홀수의 환형 또는 반환형이 존재하지 않음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $w, m \neq 1$ 이고 $n \neq 6$ 인 조건에서 다이콘 그래프 $K_w \triangledown mC_n$ 는 인접 스펙트럼에 의해 결정되는가?
• RQ2 동일한 조건 하에서 이러한 다이콘 그래프는 라플라스 스펙트럼에 의해 결정되는가?
• RQ3 여집합 $\overline{K_w \triangledown mC_n}$ 는 인접 스펙트럼에 의해 결정되는가?
• RQ4 어떤 조건에서 $K_w \triangledown mC_n$ 과 동스펙트럼인 그래프가 완전한가?
• RQ5 $K_w \triangledown mC_n$ 는 부호 없는 라플라스 스펙트럼에 의해 결정되는가?

주요 결과

• $w, m \neq 1$ 이고 $n \neq 6$ 인 조건에서 다이콘 그래프 $K_w \triangledown mC_n$ 는 인접 스펙트럼에 의해 결정된다.
• 동일한 조건 하에서 이들 다이콘 그래프는 라플라스 스펙트럼에 의해도 결정된다.
• $\overline{K_w \triangledown mC_3}$ 는 그 인접 스펙트럼에 의해 결정된다.
• $\overline{K_w \triangledown C_4}$ 는 이전 연구 결과에 의해 인접 스펙트럼에 의해 결정됨을 보였다.
• 그래프가 $K_w \triangledown mC_n$ 과 동스펙트럼일 때, $n$ 이 짝수거나 $n=3$ 이면 오직 그때만 완전한데, 이는 홀수의 환형이나 반환형이 존재하지 않기 때문이다.
• 논문은 두 개의 추측을 제기한다: $\overline{K_w \triangledown mC_n}$ 은 인접 스펙트럼에 의해 결정된다(DS), 그리고 $K_w \triangledown mC_n$ 은 부호 없는 라플라스 스펙트럼에 의해 결정된다(DS).