[논문 리뷰] The spectral extrema of graphs of odd size forbidding $H(4,3)$ beyond the book graph

Abdul Basit Wani, S. Pirzada외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 24.

Graph theory and applications인용 수 0

한 줄 요약

이 논문은 홀수 크기의 H(4,3)-free 그래프 중 북 그래프를 제외한 경우 스펙트럴 반경에 대한 예리한 상한을 제시하고, 그 상한을 달성하는 유일한 극값 그래프를 식별한다.

ABSTRACT

A graph is said to be $H$-free if it does not contain a subgraph isomorphic to $H$. The fish graph, denoted by $H(4, 3)$, is a $6-$vertex graph obtained from a cycle of length $4$ and a triangle by sharing a common vertex. Earlier it is shown that $λ(G)\leq \frac{1+\sqrt{4m-3}}{2}$ holds for all $H(4,3)-$free graphs of odd size $m\geq 44,$ and the equality holds if and only if $G\cong S_{\frac{m+3}{2},2},$ where $S_{\frac{m+3}{2},2}$ is the $m-$edge book graph $K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1,$ where $K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1,$ denotes the join of $K_2$ and $\frac{m-1}{2}K_1.$ Let $\mathcal{G}(m,H(4,3))$ denote the family of $H(4,3)$-free graphs with $m$ edges and no isolated vertices. We write $ \mathcal{G}(m,H(4,3)) \setminus \left\{ K_2 \vee frac{m-1}{2}K_1 ight\} $ for the corresponding subfamily obtained by excluding the book graph. In this paper, we establish a sharp upper bound on the spectral radius of graphs over $\mathcal{G}(m,H(4,3))\setminus \{K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1\}$ for odd $m\geq 58$ and characterize the unique extremal graph attaining this bound.

연구 동기 및 목표

• H(4,3)-free 그래프의 주어진 홀 크기와 무고립 꼭짓점 조건에서 스펙트럴 극값 문제 연구를 동기화한다.
• 지정된Family의 그래프들에 대해 스펙트럴 반경의 날카로운 상한을 결정한다.
• 주어진 상한을 달성하는 유일한 극값 그래프를 특성화한다.

제안 방법

• Perron–Frobenius 이론과 Perron 벡터를 사용하여 꼭짓점 가중치를 스펙트럴 반경과 연관시킨다.
• 평등 분할과 몫 행렬을 활용하여 가장 큰 고유값의 상한을 구한다.
• H(4,3)-free 그래프의 정점 이웃의 국부적 구조에 관한 구조 보조정리를 도출하고 분석한다.
• Perron 벡터에 의해 안내된 간선 재배치 논증으로 스펙트럴 반경을 비교한다.
• 극값 그래프가 특정 결합 구조와 동형임 must를 보이기 위한 경우 분석을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 m이 홀수이고 m ≥ 58일 때 G(m,H(4,3))에서 K2 ∨ (m−1)/2 K1를 제외한 경우의 G의 최대 스펙트럴 반경 λ(G)는 얼마인가?
• RQ2 홀수 크기 제약 하에서 H(4,3)-free 그래프 중 K2 ∨ (m−1)/2 K1를 제외한 경우 어떤 그래프들이 최대 스펙트럴 반경을 달성하는가?
• RQ3 주어진 가족에서 상한을 달성하는 G의 정확한 극값 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 홀수 m ≥ 58 및 G ∈ G(m,H(4,3)) ackslash {K2 ∨ (m−1)/2 K1}인 경우, 스펙트럴 반경은 λ(G) ≤ λ̃(m)이다.
• 같음은 G ≅ K1 ∨ (K1, (m−3)/2 ⊔ 2K1)일 때에만 성립한다.
• λ̃(m)는 x^4 − m x^2 − (m−3) x + m − 3 = 0의 최대 근이다.
• 극값 그래프는 제한된 가족 내에서 유일하며, 특정 차수-1 정점을 포함하는 결합 구조로 특징지어진다.