[논문 리뷰] The spectral gap of dense random regular graphs

Konstantin Tikhomirov, Pierre Youssef|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 06.

Random Matrices and Applications참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 밀도가 높은 무작위 정규 그래프의 스펙트럴 갭에 대한 날카운 상계를 확립한다. $ n^\alpha \leq d \leq n/2 $ 인 경우, $ C_\alpha \sqrt{d} $ 이하로 제한된 절대값의 두 번째로 큰 고유값이 높은 확률로 성립함을 보이며, Vu의 추측을 확인한다. 증명은 방향성 무작위 그래프의 인cidenc 행렬에 대한 선형 형식에 대한 새로운 농도 부등식에 기반하며, Freedman의 마틴게일 부등식과 텐서화 기법을 사용한다.

ABSTRACT

For any $α\in (0,1)$ and any $n^α\leq d\leq n/2$, we show that $λ(G)\leq C_α\sqrt{d}$ with probability at least $1-\frac{1}{n}$, where $G$ is the uniform random $d$-regular graph on $n$ vertices, $λ(G)$ denotes its second largest eigenvalue (in absolute value) and $C_α$ is a constant depending only on $α$. Combined with earlier results in this direction covering the case of sparse random graphs, this completely settles the problem of estimating the magnitude of $λ(G)$, up to a multiplicative constant, for all values of $n$ and $d$, confirming a conjecture of Vu. The result is obtained as a consequence of an estimate for the second largest singular value of adjacency matrices of random {\it directed} graphs with predefined degree sequences. As the main technical tool, we prove a concentration inequality for arbitrary linear forms on the space of matrices, where the probability measure is induced by the adjacency matrix of a random directed graph with prescribed degree sequences. The proof is a non-trivial application of the Freedman inequality for martingales, combined with boots-trapping and tensorization arguments. Our method bears considerable differences compared to the approach used by Broder, Frieze, Suen and Upfal (1999) who established the upper bound for $λ(G)$ for $d=o(\sqrt{n})$, and to the argument of Cook, Goldstein and Johnson (2015) who derived a concentration inequality for linear forms and estimated $λ(G)$ in the range $d= O(n^{2/3})$ using size-biased couplings.

연구 동기 및 목표

• 모든 $ d \in [n^\alpha, n/2] $ 에 대해 균일 무작위 $ d $-정규 그래프의 스펙트럴 갭 $ \lambda(\mathbf{G}) $ 를 추정하는 열린 문제를 해결한다.
• 절대값의 두 번째로 큰 고유값 $ \lambda(\mathbf{G}) $ 에 대해 다가되는 상한을 다가되는 상수 요소까지 날카롭게 높은 확률로 제공한다.
• 희박한 영역에서의 기존 결과를 조밀한 영역으로 확장하여 $ d \leq n/2 $ 전역에서 $ \lambda(\mathbf{G}) $ 의 특성화를 완성한다.
• 고정된 진입 및 출구 차수 시퀀스를 가진 무작위 방향 그래프의 인cidenc 행렬에 대한 선형 형식에 대한 일반적인 농도 부등식을 개발한다.
• 무작위 정규 그래프를 초월하여 적용 가능한 탄력적인 프레임워크를 구축하며, 무작위 행렬 이론과 그래프 확장성 등 응용 가능성이 있다.

제안 방법

• 무작위 정규 그래프 문제를 고정된 차수 시퀀스를 가진 무작위 방향 그래프의 인cidenc 행렬의 두 번째로 큰 특이값 분석으로 환원한다.
• 행과 열의 합이 고정된 $ 0 $-$ 1 $ 행렬 공간에 대한 임의의 선형 형식에 대한 새로운 농도 부등식을 도입하며, 마틴게일에 대한 Freedman의 부등식을 사용한다.
• 고차원 설정에서 농도 한계를 강화하기 위해 부트스트랩핑과 텐서화 기법을 활용한다.
• 무방향 케이스를 방향 케이스로 연결하기 위해 인cidenc 행렬의 상단 오른쪽 모서리에 대한 환원을 사용한다.
• 도서 [26] 의 결과를 적용하여 전체 그래프의 스펙트럴 노름을 부분 행렬의 스펙트럴 노름과 연결한다. 이는 차수 시퀀스 조건 하에 성립한다.
• 하나의 집합 $ \mathbf{Deg}_\ell(d,\delta) $ 를 정의하여, 서브-가우시안 尾행동을 보이는 일반적인 차수 시퀀스를 포괄함으로써, 고도의 확률로 농도가 성립함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도가 높은 무작위 $ d $-정규 그래프에서 $ d \in [n^\alpha, n/2] $ 인 경우 절대값의 두 번째로 큰 고유값 $ \lambda(\mathbf{G}) $ 의 날카운 渐近 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 전체 조밀한 영역에서 균일 무작위 $ d $-정규 그래프의 스펙트럴 갭이 $ O(\sqrt{d}) $ 로 높은 확률로 제한될 수 있는가?
• RQ3 고정된 차수 시퀀스를 가진 구조적 무작위 행렬에 대해 인cidenc 행렬에 대한 선형 형식의 농도 부등식을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 부분 행렬과 그들의 차수 시퀀스 분석을 통해 어떤 정도로 랜덤 정규 그래프의 스펙트럴 노름을 제어할 수 있는가?
• RQ5 Vu의 추측, 즉 점점 줄어드는 스펙트럴 갭 $ (2+o(1))\sqrt{d - d^2/n} $ 이 $ d \leq n/2 $ 인 균일 모델에서 성립하는가?

주요 결과

• 모든 $ \alpha \in (0,1) $ 과 $ n^\alpha \leq d \leq n/2 $ 에 대해, 절대값의 두 번째로 큰 고유값은 확률 $ 1 - n^{-m} $ 이상으로 $ \lambda(\mathbf{G}) \leq C_\alpha \sqrt{d} $ 를 만족한다. 여기서 $ m \in \mathbb{N} $ 은 고정된 자연수이다.
• 모든 $ d \leq n/2 $ 에 대해 $ \lambda(\mathbf{G}) = O(\sqrt{d}) $ 가 높은 확률로 성립하며, 이는 모든 차수에서 스펙트럴 갭의 특성화를 완성한다.
• 결과는 Vu의 추측, 즉 $ \lambda(\mathbf{G}) = (2+o(1))\sqrt{d - d^2/n} $ 이 균일 모델에서 상수 요소까지 성립함을 확인한다.
• 고정된 차수 시퀀스를 가진 방향 그래프의 인cidenc 행렬에 대한 선형 형식에 대한 새로운 농도 부등식이 확립되었으며, 지수 꼬리 경계를 가진다.
• 이 방법은 높은 확률로 길이가 일정한 간격에 지지되는 $ \frac{1}{\sqrt{d}}(\mathbf{M} - \mathbb{E}\mathbf{M}) $ 의 스펙트럴 측도를 제공한다.
• 증명 기법은 강건하고 일반적이며, 마틴게일 부등식과 텐서화에 기반하며, 이전의 크기 편향 쌍 또는 대칭 그래프 분해 기법과는 다릅니다.