[논문 리뷰] The spectrum of magnetic Schrödinger operators and $k$-form Laplacians on conformally cusp manifolds

Sylvain Golénia, Sergiu Moroianu|ArXiv.org|2005. 07. 21.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩트 리만다양체에서, 특히 경계 근처에서 등각적으로 실린더 메트릭에 점 渐진하는 conformally cusp 다성분의 자기장 슈뢰딩거 연산자와 k-형식 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질을 조사한다. k-형식 라플라스 연산자의 본질적 스펙트럼이 존재하지 않는다는 것은 경계의 k차 및 (k-1)차 드 라함 코homology 군이 모두 존재하지 않을 때이고, 자기장의 비정수 상대 코homology 클래스가 존재할 경우 자기장 라플라스 연산자 Δ_A는 컴팩트 리졸베ント를 가지며, 이는 컴팩트 초월 편향에 대해서조차 순수 이산 스펙트럼을 유도함을 보여준다.

ABSTRACT

We consider open manifolds which are interiors of a compact manifold with boundary, and Riemannian metrics asymptotic to a conformally cylindrical metric near the boundary. We show that the essential spectrum of the Laplace operator on functions vanishes under the presence of a magnetic field which does not define an integral relative cohomology class. It follows that the essential spectrum is not stable by perturbation even by a compactly supported magnetic field. We also treat magnetic operators perturbed with electric fields. In the same context we describe the essential spectrum of the $k$-form Laplacian. This is shown to vanish precisely when the $k$ and $k-1$ de Rham cohomology groups of the boundary vanish. In all the cases when we have pure-point spectrum we give Weyl-type asymptotics for the eigenvalue-counting function. In the other cases we describe the essential spectrum.

연구 동기 및 목표

• conformally cusp 다성분에서 k-형식의 라플라스 연산자가 순수 이산 스펙트럼을 가지는 조건을 규명하는 것.
• 콤팩트 지지 집합을 가진 자기장 편향에 대해 본질적 스펙트럼의 안정성 분석하기.
• 자기장의 상대 코homology 클래스를 통해 자기장 슈뢰딩거 연산자의 본질적 스펙트럼을 특성화하는 것.
• 스펙트럼이 순수 이산일 경우 고유값 수 함수에 대한 Weyl 유형의 점 渐진을 수립하는 것.
• k-형식 라플라스 연산자의 본질적 스펙트럼이 정확히 h^k(M)과 h^{k-1}(M)이 모두 존재하지 않을 때에만 존재하지 않는다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 경계 근처에서 등각적으로 실린더 메트릭에 점 渐진하는 리만 메트릭을 분석하며, y → ∞ 일 때 모델 g_p = y^{-2p}(dy^2 + h) 를 사용한다.
• 쿠스 미분형 연산자 이론을 적용하여 k-형식의 라플라스 연산자의 스펙트럼 성질을 연구한다.
• 자기장 라플라스 연산자 Δ_A = d_A^*d_A의 자기수반 실현을 위한 프리드리히스 확장(정의)을 사용한다.
• 게이지 불변성을 적용하여 스펙트럼 분석을 H^2(X,M) 내의 코homology 불변량으로 환원한다.
• 절단 함수를 통한 분해 원리와 Rellich-Kondrakov 컴팩트성 원리를 활용하여 X와 X\K에서의 본질적 스펙트럼을 비교한다.
• Weyl 수열을 수립하고, 교환자 추정을 사용하여 특이 연속 스펙트럼의 부재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 다성분 M에서 어떤 코homology 조건이 k-형식 라플라스 연산자의 순수 이산 스펙트럼을 유도하는가?
• RQ2 상대 코homology 클래스 [B] ∈ H^2(X,M)는 자기장 슈뢰딩거 연산자의 본질적 스펙트럼에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 콤팩트 지지 집합을 가진 자기장은 conformally cusp 다성분에서 라플라스 연산자의 본질적 스펙트럼을 변화시킬 수 있는가?
• RQ4 코homology 조건이 만족되지 않을 경우 k-형식 라플라스 연산자의 본질적 스펙트럼의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ5 본질적 스펙트럼에서 0이 존재하지 않는 것은 L^2-형식에서의 호지 분해와 대응하는가?

주요 결과

• k-형식 라플라스 연산자 Δ_{k,p}의 본질적 스펙트럼이 존재하지 않는 것은 정확히 h^k(M)과 h^{k-1}(M)이 모두 존재하지 않을 때이다.
• 0 < p < 1 일 때 Δ_{k,p}의 본질적 스펙트럼은 [0, ∞) 이며, p = 1 일 때는 [c, ∞) 이다. 여기서 c는 차원과 베티 수에 따라 달라진다.
• 자기장 B가 H^2(X,M)에서 정수 클래스를 정의하지 않으면 자기장 라플라스 연산자 Δ_A는 컴팩트 리졸베ント를 가지며, 이는 순수 이산 스펙트럼을 의미한다.
• 본질적 스펙트럼은 조건부로 콤팩트 지지 자기장 편향에 대해 안정하지 않으며, 완전한 다성분에서도 마찬가지다.
• 형식 (1)에 대해 k-형식 설정에서 특이 연속 스펙트럼의 부재가 입증되었다.
• 분해 원리에 의해 자기장 라플라스 연산자에 대해 X와 X\K에서의 스펙트럼 σ_ess(Δ) = σ_ess(Δ') 가 성립한다. 여기서 K는 경계를 가진 콤팩트 부분다성분이다.