[논문 리뷰] The splitting lemmas for nonsmooth functionals on Hilbert spaces I

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 06.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 위의 연속적으로 방향 도함수를 갖는 함수성들에 대해 분할 보조정리와 이동 정리(Shifting Theorem)를 수립한다. 이 함수성들은 임계점 근처의 조밀하게 포함된 바나흐 공간에서 더 매끄럽지만($C^2$ 이하), $C^2$는 아님) 성립한다. 주요 기여는 이전 결과들을 더 넓은 범위의 변분 문제, 예를 들어 고차수 타원형 PDE와 라그랑주계 시스템에까지 확장하는 일반화된 분할 정리의 수립이다. 이는 모어즈-팔라이 아이디어와 함수해석 기법을 융합함으로써 달성된다.

ABSTRACT

The Gromoll-Meyer's generalized Morse lemma (so called splitting lemma) near degenerate critical points on Hilbert spaces, which is one of key results in infinite dimensional Morse theory, is usually stated for at least $C^2$-smooth functionals. It obstructs one using Morse theory to study most of variational problems of form $F(u)=\int_Ωf(x, u,..., D^mu)dx$ as in ( ef{e:1.1}). In this paper we establish a splitting theorem and a shifting theorem for a class of continuously directional differentiable functionals (lower than $C^1$) on a Hilbert space $H$ which have higher smoothness (but lower than $C^2$) on a densely and continuously imbedded Banach space $X\subset H$ near a critical point lying in $X$. (This splitting theorem generalize almost all previous ones to my knowledge). Moreover, a new theorem of Poincaré-Hopf type and a relation between critical groups of the functional on $H$ and $X$ are given. Different from the usual implicit function theorem method and dynamical system one our proof is to combine the ideas of the Morse-Palais lemma due to Duc-Hung-Khai \cite{DHK} with some techniques from \cite{JM, Skr, Va1}. Our theory is applicable to the Lagrangian systems on compact manifolds and boundary value problems for a large class of nonlinear higher order elliptic equations.

연구 동기 및 목표

• 연속적으로 방향 도함수를 갖는 함수성에 대해 고전적 그롬올-마이어 분할 보조정리를 $C^2$는 아니지만 $C^1$-매끄럽고 조밀한 바나흐 부분공간에서 더 높은 매끄러움을 갖는 함수성으로 확장하는 것.
• 행동량이 일반적으로 $C^{1}$ 또는 $C^{2-0}$ 매끄럽지만 고차수 타원형 PDE와 라그랑주계 시스템을 포함하는 변분 문제에 대해 모어즈 이론의 적용을 가능하게 하는 것.
• 힐버트 공간과 바나흐 부분공간 사이의 임계군 간의 관계 수립 및 이러한 함수성에 대해 파oincaré-Hopf 유형 정리 증명.
• 고전적 은닉함수정리 및 동역학계 접근법의 한계를 극복하기 위해 모어즈-팔라이 보조정리 기법과 [27, 43, 46]의 결과를 새로운 조합으로 사용하는 것.

제안 방법

• Duc-Hung-Khai [19]에서 유도된 모어즈-팔라이 보조정리 프레임워크를 활용하여 조밀한 바나흐 부분공간 $X \subset H$ 에서 더 높은 정규성을 갖는 $C^1$-매끄러운 함수성 다루기.
• 부록 A의 매개변수화된 모어즈-팔라이 보조정리의 응용을 통해 퇴화된 임계점 근처의 국소 정규형 구축.
• 자기수반 연산자의 컴팩트 페르터베이션 이론(보조정리 B.2)을 활용하여 임계점에서 헤시안 유사 연산자의 스펙트럼 성질 분석.
• 엄밀한 게이에르 도함수성을 보장하기 위해 증명에서 하안-반하흐 정리와 평균값 정리를 활용하여 도함수 사상의 정규성 확보.
• 바나흐 공간 설정에서의 역함수정리를 활용하여 임계점 근처의 미분동형사상 구성, 이로써 함수성을 이차형 부분과 나머지 부분으로 분할.
• 통합성 성질을 갖는 분할 보조정리 수립을 통해 임bedding 하에 임계군과 같은 위상적 불변량 유지 보장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 분할 보조정리(Gromoll-Meyer)는 힐버트 공간에서 $C^2$는 아니지만 연속적으로 방향 도함수를 갖는 함수성으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 특히 고차수 타원형 PDE의 맥락에서, $C^{1}$이지만 $C^2$는 아닌 함수성의 임계군은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 힐버트 공간 $H$에서의 함수성의 임계군과 그 조밀한 바나흐 부분공간 $X$로의 제한 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 제한된 도함수성과 함께 비매끄러운 함수성에 대해 파인카레-호프 유형 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ5 함수성이 바나흐 공간에서 $C^1$이고 조밀한 부분공간에서 $C^2$이면, 도함수의 엄밀한 게이에르 도함수성이 성립하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 임계점 근처에서 조밀한 바나흐 부분공간 $X \subset H$ 에서 $C^2$-매끄럽고 힐버트 공간에서 연속적으로 방향 도함수를 갖는 함수성에 대해 새로운 분할 정리 수립.
• 분할에 의해 유도되는 호메오모르피즘을 통해 힐버트 공간과 부분공간 $X$에서의 임계군 간의 관계 수립. 이로써 위상적 불변량 유지.
• 파인카레-호프 유형 정리 증명. 새로운 정규성 프레임워크 하에서 수준집합의 오일러 특성과 임계점의 지수 합 사이의 관계 규명.
• 이동 정리 수립. 이는 헤시안 유사 연산자의 핵의 기여를 제거하기 위해 임계점 근처에서 함수성의 변형을 허용함.
• 함수성이 힐버트 공간에서 연속적으로 방향 도함수를 갖고, 부분공간 $X$에서 $C^2$이면, 임계점에서 도함수는 엄밀한 게이에르 도함수성을 갖는다.
• 두 번째 도함수 연산자의 스펙트럼 성질은 컴팩트 페르터베이션 이론을 통해 분석되며, $(-\infty, C_0)$ 내의 고립된 스펙트럼 점들이 유한 차원 고유값임을 보여줌.