[논문 리뷰] The spreading behavior of quantum walks induced by drifted random walks on some magnifier graph

Yusuke Higuchi, Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확장된 랜덤 워크에 의해 유도된 마그니파이어 그래프 위에서의 셰지디 양자워크의 확산 행동을 조사한다. 기저가 되는 랜덤 워크의 고유값은 유한한 왕복 경로를 통해 국소화를 유도하며, 랜덤 워크의 비재귀성은 양자워크의 의사속도를 느리게 하고 콘노의 것과 다름없는 극한 분포를 초래한다. 이 분포는 랜덤 워크 스펙트럼의 스펙트럼 간극에 의해 특징지어진다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the quantum walk on $\mathbb{Z}$ with attachment of one-length path periodically. This small modification to $\mathbb{Z}$ provides localization of the quantum walk. The eigenspace causing this localization is generated by finite length round trip paths. We find that the localization is due to the eigenvalues of an underlying random walk. Moreover we find that the transience of the underlying random walk provides a slow down of the pseudo velocity of the induced quantum walk and a different limit distribution from the Konno distribution.

연구 동기 및 목표

• 마그니파이어 그래프 위에서 비재귀 랜덤 워크의 스펙트럼 성질이 유도된 셰지디 양자워크의 확산 행동에 어떻게 영향을 주는지 이해하는 것.
• 기하학적 해석(호몰로지 기반)이 아닌 조건에서 양자워크의 국소화가 발생할 수 있는지 조사하는 것.
• 유도된 양자워크의 극한 분포를 특성화하고, 이 분포가 기저 랜덤 워크의 비재귀성과 스펙트럼 간극에 어떻게 의존하는지 규명하는 것.
• 유도된 양자워크의 점점 가까워지는 행동에 따라 비재귀 랜덤 워크의 매개변수 영역을 분류하는 것.

제안 방법

• 세 매개변수 비재귀 랜덤 워크(전이 확률 (p, q, r))를 사용하여, 경로가 부착된 Z의 주기적 확장인 마그니파이어 그래프 위에 셰지디 워크를 구성한다.
• 스펙트럼 매핑 정리를 적용하여 랜덤 워크 전이 행렬 P의 고유값을 복소평면의 단위원에 옮기며, 국소화를 일으키는 고유공간을 식별한다.
• 유한 길이의 왕복 경로로 생성된 고유공간 L±를 정의하며, 이는 초기 상태가 이러한 부분공간과 겹치는 경우 양자워크의 국소화를 지지한다.
• 랜덤 워크의 연속 스펙트럼을 분석하여 스펙트럼 간극 (−λ₀, λ₀) 및 (−1, λ₁) ∪ (λ₁, 1)을 식별한다. 여기서 λ₀ = inf|spec(P)\{0}|, λ₁ = sup|spec(P)|이다.
• 스펙트럼 분석과 적분 변환을 사용하여 스케일링된 양자워크의 약한 극한 분포를 유도하며, λ₀와 λ₁를 포함하는 밀도 함수를 얻는다.
• 극한 밀도를 두 성분의 합으로 표현한다: 하나는 콘노의 분포를 닮은 것이고, 다른 하나는 λ₁ < 1일 때만 존재하는 새로운 파동 성분 γ±(x;λ₁,λ₀)이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 사이클이나 비자명한 호몰로지 없이도 양자워크의 국소화가 발생할 수 있으며, 만약 그렇다면 그 기전은 무엇인가?
• RQ2 기저가 되는 비재귀 랜덤 워크의 비재귀성이 유도된 양자워크의 의사속도와 극한 분포에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 랜덤 워크 스펙트럼의 스펙트럼 간극—특히 λ₀와 λ₁—이 양자워크의 확산 행동에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 유도된 양자워크의 극한 분포는 기저 랜덤 워크의 매개변수 (p, q, r)에 의해 유일하게 결정되는가? 이러한 매개변수는 그 점점 가까워지는 행동에 따라 분류될 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 극한 분포에 콘노의 분포와 다름없는 새로운 파동 성분이 나타나는가?

주요 결과

• 유도된 양자워크의 국소화는 사이클이나 호몰로지 기반의 기하학적 요소가 아니라, 기저 랜덤 워크의 고유값에 기인한다. 특히 랜덤 워크가 0에 비영인 고유값을 가질 경우 발생한다.
• 국소화를 일으키는 고유공간은 유한 길이의 왕복 경로로 생성되며, 초기 상태가 이 고유공간에 비영인 투영을 가질 경우 양자워크는 국소화를 보인다.
• 기저 랜덤 워크가 비재귀일 경우 양자워크의 의사속도가 감소하며, 감소 정도는 λ₀와 λ₁에 의해 결정된다.
• 새로운 파동 성분은 기저 랜덤 워크가 비재귀일 때만(λ₁ < 1일 때) 극한 분포에 나타나며, 재귀일 경우(λ₁ = 1)는 존재하지 않는다.
• 극한 밀도 함수는 명시적으로 두 항의 합으로 유도되며, 하나는 콘노의 분포를 닮은 것이고, 다른 하나는 γ±(x;λ₁,λ₀)를 포함한다. 이 성분은 λ₁ = 1일 때는 0이 된다.
• 매개변수 공간 (p, q, r)는 유도된 극한 분포에 따라 동치류로 분류될 수 있으며, (p, q, r) ∼ (p′, q′, r′)일 필요충분조건은 λ₁(p, q, r) = λ₁(p′, q′, r′) 및 λ₀(p, q, r) = λ₀(p′, q′, r′)이다.