[논문 리뷰] The spreading fronts of an infective environment in a man-environment-man epidemic model

Inkyung Ahn, Zhigui Lin|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 27.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 인간-환경-인간 전염병 시스템에서 대변을 통해 전파되는 박테리아의 공간적 확산과 퇴치를 연구하기 위해 자유 경계 반응-확산 모델을 제안한다. 변화하는 서식지 크기를 반영하는 시간에 따라 변하는 기본 재생수 $ R^{F}_{0}(t) $ 를 정의함으로써, 명확한 조건을 설정한다: 만약 어떤 $ t_0 $ 에 대해 $ R^{F}_{0}(t_0) \geq 1 $ 이면 박테리아는 확산되며, $ R_0 \leq 1 $ 이면 퇴치된다. 또한 $ R^{F}_{0}(0) < 1 < R_0 $ 인 경우, 결과는 초기 조건(초기 박테리아 부하 및 서식지 크기 포함)에 따라 달라진다.

ABSTRACT

A reaction-diffusion model is investigated to understand infective environments in a man-environment-man epidemic model. The free boundary is introduced to describe the expanding front of an infective environment induced by fecally-orally transmitted disease. The basic reproduction number $R^F_0(t)$ for the free boundary problem is introduced, and the behavior of positive solutions to the reaction-diffusion system is discussed. Sufficient conditions for the bacteria to vanish or spread are given. We show that, if $R_0\leq 1$, the bacteria always vanish, and if $R^F_0(t_0)\geq 1$ for some $t_0\geq 0$, the bacteria must spread, while if $R^F_0(0)&lt;1

연구 동기 및 목표

• 대변을 통해 전파되는 질병에서 감염 환경의 점진적 공간적 확장을 자유 경계 접근법을 통해 모델링하기 위해.
• 초기 확산과 관계없이 즉각적인 환경 감염을 가정하는 고정 도메인 모델의 한계를 해결하기 위해.
• 동적으로 변화하는 서식지 크기와 확산 효과를 반영하는 시간에 따라 변하는 기본 재생수 $ R^{F}_{0}(t) $ 를 도입하기 위해.
• 박테리아가 무한히 확산되는지 여부 또는 시간이 지남에 따라 퇴치되는지를 판단하는 명확한 기준을 설정하기 위해.
• 초기 조건(초기 박테리아 부하, 서식지 길이, 확산 속도 등)이 장기적인 전염병 결과에 미치는 영향을 분석하기 위해.

제안 방법

• 감염 환경의 확장하는 전면을 나타내는 자유 경계 $ g(t) $ 와 $ h(t) $ 를 포함한 반응-확산 시스템을 수립한다.
• 서식지 크기와 확산 속도에 따라 달라지는 시간에 따라 변하는 기본 재생수 $ R^{F}_{0}(t) = \frac{G'(0) \cdot a_{12}/a_{22}}{a_{11} + d(\pi/(h(t)-g(t)))^2} $ 를 도입한다.
• 비교 원리에 사용하기 위해 상하한 해를 이용해 하위해와 상위해를 구성한다.
• 최대 원리와 비교 정리를 적용하여 이동하는 도메인 내에서 해의 장기적 행동을 분석한다.
• 자유 경계에서 스테파노 유사 조건을 적용하여 확산 과정을 모델링하고, 경계가 인구 역학에 따라 변화하도록 보장한다.
• 콤���트 부분에서의 균일 수렴을 이용하여 해의 점근적 행동을 분석하고, 확산 역학을 검증하기 위해 전체 해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감염 환경가 무한히 확산되거나 완전히 퇴치되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 시간에 따라 변하는 기본 재생수 $ R^{F}_{0}(t) $ 는 박테리아의 장기적 운명을 어떻게 결정하는가?
• RQ3 초기 조건(초기 박테리아 부하 및 서식지 크기 포함)이 확산 또는 퇴치에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 박테리아의 확산 속도 $ d $ 는 확산의 임계값에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 만약 $ R^{F}_{0}(0) < 1 < R_0 $ 인 경우, 어떤 특정 초기 요소가 확산 또는 퇴치를 결정하는가?

주요 결과

• $ R_0 \leq 1 $ 이면, 초기 조건과 관계없이 항상 박테리아가 퇴치되며, 이는 ODE 시스템 결과와 일치한다.
• 어떤 $ t_0 \geq 0 $ 에 대해 $ R^{F}_{0}(t_0) \geq 1 $ 이면, 박테리아는 반드시 확산되며, $ h_\infty - g_\infty = \infty $ 이고 $ (u,v) \to (u^*,v^*) $ 가 콤팩트 집합에서 균일하게 수렴한다.
• $ R^{F}_{0}(0) < 1 < R_0 $ 인 경우, 결과는 초기 자료에 매우 민감하게 의존한다: 초기 박테리아 부하가 충분히 크거나, 초기 서식지가 충분히 크면 확산이 발생한다.
• 확산 또는 퇴치 결과는 자유 경계의 확장 속도와 전면에서의 인구 기울기의 비율 $ \mu $ 에 의해도 결정되며, $ \mu $ 가 클수록 확산이 유리해진다.
• 시간에 따라 변하는 $ R^{F}_{0}(t) $ 는 $ R^{F}_{0}(t) \leq R_0 $ 를 만족하며, 서식지가 무한히 확장되면 $ t \to \infty $ 일 때 $ R^{F}_{0}(t) \to R_0 $ 로 수렴한다.
• 확산-퇴치 이분법이 확립되었다: 또는 박테리아는 종단적 평형 상태로 수렴하는 전역적 확산을 하며, 또는 유계 서식지와 감소하는 인구를 가진 채로 퇴치된다.