[논문 리뷰] The stable Bernstein center and test functions for Shimura varieties

Thomas J. Haines|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 23.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $p$-군에 대한 안정 Bernstein 중심 이론을 개발하고, $p$에서 임의의 수준 구조를 가진 슈미라 다양체에서 Langlands-Kottwitz 방법에 대한 일반적 추측을 제안한다. 이는 Langlands 쌍대 표현과 관련된 안정 Bernstein 중심 내 분포를 통해 테스트 함수를 정확히 구성하며, Kottwitz의 추측을 분할형 및 더 깊은 수준의 구조로 일반화하고, Hasse-Weil zeta 함수를 자동형 $L$-함수로 표현하는 데 필수적인 전이 추측과의 호환성을 확립한다.

ABSTRACT

We elaborate the theory of the stable Bernstein center of a $p$-adic group $G$, and apply it to state a general conjecture on test functions for Shimura varieties due to the author and R. Kottwitz. This conjecture provides a framework by which one might pursue the Langlands-Kottwitz method in a very general situation: not necessarily PEL Shimura varieties with arbitrary level structure at $p$. We give a concrete reinterpretation of the test function conjecture in the context of parahoric level structure. We also use the stable Bernstein center to formulate some of the transfer conjectures (the "fundamental lemmas") that would be needed if one attempts to use the test function conjecture to express the local Hasse-Weil zeta function of a Shimura variety in terms of automorphic $L$-functions.

연구 동기 및 목표

• Schurima 다양체에서 $p$에서 임의의 수준 구조를 가진 경우, 고전적 PEL 및 초특수 경우를 넘어서 Langlands-Kottwitz 방법을 일반화하기 위해.
• Schurima 다양체의 코homology를 추적 공식 접근법으로 다룰 때의 테스트 함수에 대한 일반적 추측을 수립하기 위해.
• 이러한 테스트 함수를 구성하기 위한 프레임워크로 안정 Bernstein 중심 이론을 정의하고 발전시키기 위해.
• 테스트 함수를 Langlands 쌍대군의 표현을 통해 안정 Bernstein 중심 내 분포를 통해 연결하기 위해.
• Hasse-Weil zeta 함수를 자동형 $L$-함수로 표현하기 위해 필요한 국소 Langlands 대응과 전이 추측과의 호환성을 확립하기 위해.

제안 방법

• Vogan의 접근을 일반화하여, $\mathfrak{Z}^{\rm st}(G/F)$를 $\mathrm{W}_F \to {}^L G$의 적합한 준동형사상 $\lambda$의 $\widehat{G}$-공轭류 다양체 위의 정칙 함수의 링으로서 안정 Bernstein 중심을 도입한다.
• 테스트 함수 $\phi_r$를 $p^{rd/2}(Z_V * 1_{K_{p^r}})$의 형태로 컨볼루션으로 구성하며, 여기서 $Z_V$는 Langlands 쌍대군 ${}^L G$의 표현 $V$와 관련된 안정 Bernstein 중심 내 분포이다.
• 군 $G$가 비분기이고 $K_p$가 분할형일 때, 이 추측을 분할형 수준 구조로 특수화하여, $G$가 비분기이고 $K_p$가 분할형인 경우 Kottwitz의 추측을 특수한 경우로 회복한다.
• 표현 $V^{E_{j0}}_{-\mu,j}$를 통해 Hecke 대수 $\mathcal{Z}(G(\mathbb{Q}_{p^r}), K_{p^r})$의 중심과 안정 Bernstein 중심을 연결하는 Bernstein 등장사를 사용한다.
• 상수 항 맵과 가환하며 선택에 의존하지 않는 정규화된 전이 준동형사상 $\tilde{t}: \mathcal{Z}(G^*(F), J^*) \to \mathcal{Z}(G(F), J)$를 정의한다.
• Kottwitz 준동형사상 $\kappa_{G^*}(F)$의 섬유 위에서의 적분과의 호환성을 확립하여, $\tilde{t}(z)$의 명시적 계산이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Langlands-Kottwitz 방법을 PEL 또는 초특수 경우를 초월하여 $p$에서 임의의 수준 구조를 가진 슈미라 다양체로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이러한 슈미라 다양체의 추적 공식에서 테스트 함수 $\phi_r$의 정확한 형태는 무엇이며, Langlands 쌍대군과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 안정 Bernstein 중심을 사용하여 국소 Langlands 대응과 전이 추측과 호환되는 테스트 함수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 Bernstein 등장사는 Langlands 쌍대군의 표현과 안정 Bernstein 중심 내 분포를 어떻게 연결하는가?
• RQ5 Hecke 대수 간의 전이 준동형사상을 어떻게 정의할 수 있으며, 상수 항 맵과 Kottwitz 준동형사상과의 호환성을 어떻게 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 테스트 함수 추측(추측 6.1.1)은 $\phi_r = p^{rd/2}(Z_{V^{E_{j0}}_{-\mu,j}} * 1_{K_{p^r}})$의 일반적 공식을 제공하며, 여기서 $Z_V$는 ${}^L G$의 표현 $V$와 관련된 안정 Bernstein 중심 내 분포이다.
• 이 추측은 $G$가 비분기이고 $K_p$가 분할형인 경우, Kottwitz의 추측으로 특수화되며, 기존의 테스트 함수가 Bernstein 함수 $z^{K_p}_{-\mu,j}$의 거듭제곱으로 회복된다.
• 이 추측은 $\Gamma_1(p)$-수준 구조를 가진 드리프린트 케이스 슈미라 다양체에 대해 (Haines-Rapoport에 의해) 그리고 임의의 수준을 가진 모듈러 곡선과 드리프린트 케이스에 대해 (Scholze에 의해) 증명되었다.
• 안정 Bernstein 중심은 $\mathrm{W}_F \to {}^L G$의 적합한 준동형사상 $\lambda$의 $\widehat{G}$-공轭류 다양체 위의 정칙 함수의 링으로서 정의되며, 이는 테스트 함수의 기하적 프레임워크를 제공한다.
• 상수 항 맵과 가환하며 선택에 의존하지 않는 정규화된 전이 준동형사상 $\tilde{t}$가 구성되었으며, 이는 $\kappa_{G^*}(F)$-섬유 위에서의 적분을 통해 명시적 계산이 가능하게 한다.
• 전이 준동형사상 $\tilde{t}$는 Bernstein 등장사와 호환되며, 이로 인해 테스트 함수 $\tilde{t}(z)$가 잘 정의되고 고유함을 확보하여 이전의 서술 방식의 결함을 해결한다.