[논문 리뷰] The stack of local systems with restricted variation and geometric Langlands theory with nilpotent singular support

D. Arinkin, Dennis Gaitsgory외 4명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 제한된 변동을 갖는 국소 시스템의 스택이라는 새로운 기하적 대상을 도입하여, ℓ-아디크 및 드 라함 설정을 포함한 구성 가능 층 이론에 대한 카테고리적 기하학적 롱글랜드 상호관계의 정밀한 공식화를 가능하게 한다. Bun_G 위의 노름화된 특이집합을 갖는 층에 대한 스펙트럼 분해 정리를 증명하며, 이러한 층이 비엘린슨의 스펙트럼 프로젝터를 통해 히크-에이젠셔프로 생성됨을 보이며, 이는 자동형 층과 자동형 함수 사이의 정확한 카테고리 동치를 연결한다.

ABSTRACT

We define a new geometric object--the stack of local systems with restricted variation. We formulate a version of the categorical geometric Langlands conjecture that makes sense for any constructible sheaf theory (such as l-adic sheaves). We formulate a conjecture that makes precise the connection between the category of automorphic sheaves and the space of automorphic functions.

연구 동기 및 목표

• 제한된 모노드로미 변동을 갖는 국소 시스템의 스택—제한된 변동을 갖는 국소 시스템의 스택—을 정의함으로써, 다양한 층 이론에 걸쳐 기하학적 롱글랜드를 통일적으로 공식화할 수 있도록 한다.
• ℓ-아디크 및 드 라함 층을 포함한 구성 가능 층 이론에 적용 가능한 카테고리적 기하학적 롱글랜드 추측을 공식화한다.
• 노름화된 특이집합을 갖는 자동형 층의 카테고리와 자동형 함수의 공간 사이의 정확한 대응 관계를 스펙트럼 분해를 통해 확립한다.
• Bun_G 위의 노름화된 특이집합을 갖는 층의 카테고리가 컴팩트 생성되며, 비엘린슨의 스펙트럼 프로젝터를 통한 스펙트럼 분해를 갖는다는 것을 증명한다.
• 이론을 Betti 및 드 라함 설정으로 확장하여, 국소 시스템의 다양한 실현 방식 간의 호환성과 동치성을 보여준다.

제안 방법

• Tannakian 형식론과 인도-표현 가능성 기법을 사용하여, 제한된 모노드로미 변동을 갖는 국소 시스템을 분류하는 전스택으로서 LocSysrestr_G(X)를 도입한다.
• 변형 이론을 수립하고 코탄젠트 복합체를 계산하여, 점의 형식적 이웃 주변을 분석함으로써 LocSysrestr_G(X)의 인도-표현 가능성 증명한다.
• 균일화 사상과 닫힘 성질을 이용하여 문제를 대수적 군의 경우로 축소하며, 강성과 기약성 결과를 활용한다.
• 요소화 호모로지와 란 공간 기법을 사용하여, 히크-함수의 코프로젝션으로서 비엘린슨의 스펙트럼 프로젝터를 코프로젝션의 극한으로 구성한다.
• 스펙트럼 프로젝터가 국소화 함수로 작용하며, 그 본질적 상이가 노름화된 특이집합에 지지된 층들과 일치함을 증명한다.
• QCoh의 사상 스택에 대한 대칭성과 1-아파인성 기법을 적용하여, 자동형 층의 카테고리의 컴팩트 생성성과 준강성(semi-rigidity)을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℓ-아디크, 드 라함, Betti 층 이론과 같은 다양한 층 이론 간에 기하학적 롱글랜드 상호관계를 어떻게 통일적으로 공식화할 수 있는가?
• RQ2 모노드로미 변동이 제한된 국소 시스템을 매개하는 올바른 기하적 대상은 무엇이며, 기존의 국소 시스템 스택과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 비엘린슨의 스펙트럼 프로젝터는 노름화된 특이집합을 갖는 층의 카테고리에 어떻게 작용하며, 그 본질적 상이는 무엇인가?
• RQ4 카테고리적 설정에서 노름화된 특이집합을 갖는 자동형 층과 자동형 함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 이러한 층의 카테고리가 컴팩트 생성 가능한가? 그리고 그 생성자는 무엇인가?

주요 결과

• LocSysrestr_G(X)는 인도-표현 가능하며, Betti, 드 라함, ℓ-아디크 설정을 포함한 다양한 기하적 맥락에서 통일된 구성이 가능하다.
• Bun_G 위의 노름화된 특이집합을 갖는 층의 카테고리인 ShvNilp(Bun_G)는 컴팩트 생성되며, 스펙트럼 프로젝터에서 유도된 생성자 집합을 갖는다.
• 비엘린슨의 스펙트럼 프로젝터는 본질적 상이를 노름화된 특이집합에 지지된 층들과 일치시키며, 카테고리의 스펙트럼 분해를 확립한다.
• 스펙트럼 프로젝터는 란 공간을 따라 코프로젝션으로 구성되며, 자동형 층의 국소화를 히크-에이젠셔프로 실현한다.
• LocSysrestr_G(X)의 형식적 거시 모듈리 공간은 성질 W와 A를 만족하여, 대칭성과 1-아파인성과의 호환성을 보장한다.
• 스펙트럼 분해 정리는 Betti, 드 라함, 에탈 맥락에서 모두 일반적으로 성립하며, 코homological 및 Tannakian 방법을 통해 명시적인 동치가 존재한다.