[논문 리뷰] The star sequence and the general first Zagreb index

Leonid Bedratyuk, Олег Савенко|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 02.

Graph theory and applications인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 별 수열(star sequence)을 도입하며, 이는 별 그래프 $S_k = K_{1,k}$와 동형인 부분그래프의 수를 세는 것으로 정의된다. 별 수열과 빈도 수열(정점 차수 분포) 사이의 이중성(duality)을 확립하고, 스타링 수열을 사용하여 일반화된 첫 번째 제그레브 지수 $Z_p(G)$의 닫힌 표현식을 유도한다. 이 표현식은 스타링 수열의 제2종 스타링 수를 활용하여 유도되며, $Z_p(G) = 2S_1(G) + \sum_{i=2}^p i! \left\{{p \atop i}\right\} S_i(G)$로 표현된다. 또한 $Z_p(G)$의 생성함수와 선형 재귀식을 유도하여 수반 정리(Handshaking Lemma)를 일반화한다.

ABSTRACT

For a simple graph, we introduce a notion of the star sequence and prove that the star sequence and the frequently sequences of a graph are inverses of each other from a combinatorial point of view. As a consequence, we express the general first Zagreb index in terms of the star sequence. Also, we calculate the ordinary generating function and find a linear recurrence relation for the sequence of the general first Zagreb indexes.

연구 동기 및 목표

• 그래프의 별 수열을 정의하고 형식화하기: $S_k = K_{1,k}$와 동형인 부분그래프의 수를 세는 것.
• 별 수열과 빈도 수열(정점 차수 분포) 사이의 조합적 이중성 수립.
• 제2종 스타링 수를 활용하여 일반 제1 제그레브 지수 $Z_p(G)$를 별 수열의 표현식으로 표현하기.
• 일반 생성함수와 선형 재귀식을 유도하여 수열 $\{Z_p(G)\}$의 성질 분석하기.

제안 방법

• 그래프 $G$에서 $K_{1,k}$-부분그래프의 수로 별 수열 $S_k(G)$를 정의한다.
• 포함-배제 원리를 사용하여 별 수열을 빈도 수열 $f_i$(차수 $i$인 정점의 수)와 연결한다.
• 항등식 $\sum_{i=1}^k i^p (-1)^{k-i} \binom{k}{i} = k! \left\{{p \atop k}\right\}$를 적용하여 $Z_p(G) = \sum_i i^p f_i$를 $S_k(G)$로 표현한다.
• 제2종 스타링 수의 생성함수를 이용하여 일반 생성함수 $\mathcal{G}(Z,t) = \sum_p Z_p(G) t^p$를 유도한다.
• 생성함수의 성질과 제1종 부호 스타링 수를 활용하여 $Z_p(G)$의 선형 재귀식을 유도한다.
• 생성함수의 유리형 표현을 활용하여 $p \geq n$에 대해 $Z_p(G) + \sum_{i=1}^n \left[{p+1 \atop p+1-i}\right] Z_{p-i}(G) = 0$의 재귀식을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 제1 제그레브 지수 $Z_p(G)$는 별 수열 $S_k(G)$로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ2 별 수열과 그래프의 빈도 수열 사이의 조합적 관계는 무엇인가?
• RQ3 수열 $\{Z_p(G)\}$의 일반 생성함수는 무엇인가?
• RQ4 수열 $\{Z_p(G)\}$는 선형 재귀 관계를 만족하는가?
• RQ5 새로운 $Z_p(G)$ 공식은 수반 정리를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 일반 제1 제그레브 지수는 $Z_p(G) = 2S_1(G) + \sum_{i=2}^p i! \left\{{p \atop i}\right\} S_i(G)$로 주어지며, 여기서 $\left\{{p \atop i}\right\}$는 제2종 스타링 수이다.
• 별 수열과 빈도 수열은 서로 역조합 수열이다: $f_i = \sum_{k=i}^{n-1} (-1)^{k-i} \binom{k}{i} S_k(G)$ 및 $S_k(G) = \sum_{i=k}^{n-1} \binom{i}{k} f_i$.
• 수열 $\{Z_p(G)\}$의 일반 생성함수는 $\mathcal{G}(Z,t) = \frac{\sum_{k=0}^{n-1} \left( \sum_{i=0}^k \left[{n+1 \atop n+1-(k-i)}\right] Z_i(G) \right) t^k}{(1-t)(1-2t)\cdots(1-nt)}$로 주어진다.
• 수열 $\{Z_p(G)\}$는 모든 $p \geq n$에 대해 선형 재귀식 $Z_p(G) + \sum_{i=1}^n \left[{p+1 \atop p+1-i}\right] Z_{p-i}(G) = 0$을 만족하며, 여기서 $\left[{p \atop i}\right]$는 부호 스타링 수의 제1종이다.
• 이 공식은 수반 정리를 일반화한다: $Z_1(G) = 2m = 2S_1(G)$이며, $Z_2(G) = 2S_1(G) + 2S_2(G)$이다.
• 별 수열과 빈도 수열 간의 이중성에 기반하여 항등식 $\sum_{uv \in E(G)} \left( \frac{1}{d_u} + \frac{1}{d_v} \right) = S_1(G) + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{i-1} S_i(G)$가 유도된다.