[논문 리뷰] The Steady Boltzmann and Navier-Stokes Equations

Kazuo Aoki, François Golse외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 10.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 도메인 내에서 정 steady 상태의 볼츠만 방정식과 비압축성 라우지에르-스토크스 방정식 간의 수학적 유사성과 차이를 조사한다. 점성이 열을 발생시키는 정도—프루드 수와 마하 수의 비율에 따라 달라지며, 이 비율이 볼츠만 방정식의 해가 라우지에르-스토크스-푸어 시스템으로 수렴하는지 여부를 결정한다. 특히, 부드러운 외력이 작용할 경우 라우지에르-스토크스 방정식은 항상 부드러운 해를 갖지만, 볼츠만 방정식은 같은 조건에서 해가 존재하지 않을 수 있으며, 이는 시간에 따른 진화 문제의 수치 시뮬레이션에서 온도 상승과 관련된 붕괴 현상과 연결된다.

ABSTRACT

The paper discusses the similarities and the differences in the mathematical theories of the steady Boltzmann and incompressible Navier-Stokes equations posed in a bounded domain. First we discuss two different scaling limits in which solutions of the steady Boltzmann equation have an asymptotic behavior described by the steady Navier-Stokes Fourier system. Whether this system includes the viscous heating term depends on the ratio of the Froude number to the Mach number of the gas flow. While the steady Navier-Stokes equations with smooth divergence-free external force always have at least one smooth solutions, the Boltzmann equation with the same external force set in the torus, or in a bounded domain with specular reflection of gas molecules at the boundary may fail to have any solution, unless the force field is identically zero. Viscous heating seems to be of key importance in this situation. The nonexistence of any steady solution of the Boltzmann equation in this context seems related to the increase of temperature for the evolution problem, a phenomenon that we have established with the help of numerical simulations on the Boltzmann equation and the BGK model.

연구 동기 및 목표

• 유한 도메인 내에서 정 steady 상태의 볼츠만 방정식과 비압축성 라우지에르-스토크스 방정식 간의 수학적 유사성과 차이를 분석하는 것.
• 정 steady 상태의 볼츠만 방정식이 어떤 척도 한계에서 점차적으로 정 steady 상태의 라우지에르-스토크스-푸어 시스템으로 수렴하는지 규명하는 것.
• 라우지에르-스토크스 방정식은 항상 부드러운 해를 갖는 데 비해, 볼츠만 방정식은 같은 조건에서 해가 존재하지 않을 수 있는 이유를 조사하는 것.
• 이러한 해의 존재하지 않는 현상의 물리적 기원을 탐구하며, 특히 시간에 따라 변화하는 해에서 점성 열과 온도 상승의 역할을 분석하는 것.
• 정 steady 상태의 라우지에르-스토크스 방정식에서의 비유일성과 볼츠만 방정식에서 관측된 수치적 분기 현상 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 다른 척도 가정 하에 정 steady 상태의 볼츠만 방정식에서 비압축성 라우지에르-스토크스-푸어 시스템의 두 변종을 형식적으로 유도하는 것.
• 주기적 경계 조건 설정을 통한 볼츠만 방정식과 라우지에르-스토크스 방정식 간의 해 존재성 비교 분석.
• 속도 공간에서 가우시안 평균과 수직성 관계를 활용해 충돌 연산자의 모멘트를 계산하는 것.
• 속도에 의존하는 필드인 $ A_{ij} $, $ B_i $, $ C_{jkl} $ 등의 통계적 모멘트를 평가하기 위해 텐서 분해 기법의 적용.
• 시간에 따라 변화하는 볼츠만 방정식과 BGK 모델의 수치 시뮬레이션을 통해 온도 변화와 점성 열 효과를 연구하는 것.
• 선형화된 충돌 연산자 $ ilde{L} $ 등을 포함한 함수해석학 도구를 활용해 해의 구조와 정규성의 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정 steady 상태의 볼츠만 방정식이 어떤 척도 한계에서 정 steady 상태의 라우지에르-스토크스-푸어 시스템으로 수렴하는가?
• RQ2 왜 정 steady 상태의 볼츠만 방정식은 비제로의 부드러운 외력 하에서 해를 갖지 못하는 데 반해, 라우지에르-스토크스 방정식은 항상 해를 갖는가?
• RQ3 프루드 수와 마하 수의 비율이 볼츠만 방정식의 유체역학적 근사에서 점성 열이 나타나는지 여부를 어떻게 결정하는가?
• RQ4 비제로 외력 하에서 정 steady 상태의 볼츠만 방정식에서 해가 존재하지 않는 데에 점성 열이 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 볼츠만 방정식의 수치 시뮬레이션은 해 붕괴의 물리적 메커니즘을 어떻게 드러내는가?

주요 결과

• 부드럽고 발산이 없는 외력이 작용하는 정 steady 상태의 라우지에르-스토크스 방정식은 도메인에 관계없이 항상 최소한 하나의 부드러운 해를 갖는다.
• 반면, 토러스 또는 반사 경계 조건이 적용된 유한 도메인에서 동일한 외력을 갖는 정 steady 상태의 볼츠만 방정식는 힘이 정확히 0이 아닐 경우 해가 존재하지 않을 수 있다.
• 유체역학적 근사에서 점성 열의 존재 여부는 기체 유동의 프루드 수와 마하 수의 비율에 의해 결정된다.
• 시간에 따라 변화하는 볼츠만 방정식과 BGK 모델의 수치 시뮬레이션은 온도가著 증가하는 것으로 나타나, 이 열 효과가 정 steady 상태에서 해가 존재하지 않는 주요 원인임을 시사한다.
• 비제로 외력 하에서 정 steady 상태의 볼츠만 방정식에서 해가 존재하지 않는 것은 시간 진화 과정에서 관측된 무한대에 가까운 온도 상승과 물리적으로 연결되어 있으며, 이는 정상 상태 형성의 방해 요소가 된다.
• 텐서 모멘트 계산을 통해 $ \nu = \frac{1}{15}\langle|v|^4 \alpha(|v|)\rangle > 0 $ 임을 확인하여, 선형화된 충돌 연산자로부터 유도된 점성 계수의 양성성을 확인한다.