[논문 리뷰] The stochastic primitive equations with non-isothermal turbulent pressure

Antonio Agresti, Matthias Hieber외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 12.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 나비에-스토크스 방정식으로부터 스토크라스틱 부소네스크 및 수직 평형 근사법을 통해 유도된 비동온성 난류 압력과 운반 노이즈를 고려한 스토크라스틱 기본 방정식의 전역 적으로 잘 정의된 해를 도입하고 확립한다. 주요 기여는 이토 및 스트라토노비치 표현 모두에서 $ H^1 $-잘 정의됨을 증명하는 것으로, 새로운 에너지 추정과 초기 데이터에 대한 연속적 의존성까지 포함되며, 이는 동온 경우에도 적용된다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the primitive equations with $ extit{non}$-isothermal turbulent pressure and transport noise. They are derived from the Navier-Stokes equations by employing stochastic versions of the Boussinesq and the hydrostatic approximations. The temperature dependence of the turbulent pressure can be seen as a consequence of an additive noise acting on the small vertical dynamics. For such a model we prove global well-posedness in $H^1$ where the noise is considered in both the Itô and Stratonovich formulations. Compared to previous variants of the primitive equations, the one considered here presents a more intricate coupling between the velocity field and the temperature. The corresponding analysis is seriously more involved than in the deterministic setting. Finally, the continuous dependence on the initial data and the energy estimates proven here are new, even in the case of isothermal turbulent pressure.

연구 동기 및 목표

• 소규모 수직 역학에 작용하는 열적 변동으로 인해 발생하는 비동온성 난류 압력을 고려한 지구물리학적 유동을 모델링하기 위해.
• 크라이히난의 난류 이론과 미세구조 파rameterization을 동기로 하여 운반 노이즈를 기본 방정식에 통합하기 위해.
• 이토 및 스트라토노비치 표현 모두에서 결과로 얻어진 스토크라스틱 시스템에 대해 $ H^1 $에서의 전역 적으로 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 이전의 결정론적 및 동온 스토크라스틱 설정을 넘어서, 새로운 에너지 추정과 초기 데이터에 대한 연속적 의존성을 제공하기 위해.
• 온도에 의존하는 난류 압력으로 인해 발생하는 속도와 온도 간의 향상된 결합을 엄밀히 분석하기 위해.

제안 방법

• 스토크라스틱 부소네스크 및 수직 평형 근사법을 사용하여 나비에-스토크스 방정식으로부터 스토크라스틱 기본 방정식을 유도하기 위해.
• 비동온성 난류 압력을 수직 역학에 작용하는 가산 노이즈의 결과로 모델링하여 압력 항에 온도 의존성을 도입하기 위해.
• 운반 노이즈(크라이히난 유형)를 사용하여 속도 및 온도 필드의 미세구조적 스토크라스틱성을 표현하기 위해.
• 수직 평형 헬름홀츠 프로젝션을 적용하여 시스템을 속도 및 온도에 대한 결합된 스토크라스틱 PDE 시스템으로 재구성하기 위해.
• 비선형성과 노이즈 항을 제어하기 위해 $ H^1 $-기반 공간에서 스토크라스틱 최대 정규성 및 사전 추정을 적용하기 위해.
• 시간과 공간 기반의 상세한 $ L^2 $-기반 추정을 사용하여 에너지 추정과 연속적 의존성을 확립하며, 마틴갈 및 기울기 노이즈 항을 포함하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 온도에 의존하는 난류 압력의 포함이 스토크라스틱 기본 방정식의 잘 정의됨과 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 이토 및 스트라토노비치 노이즈 표현 모두에서 비동온성 난류 압력을 고려한 스토크라스틱 기본 방정식에 대해 전역 $ H^1 $-잘 정의됨을 확립할 수 있는가?
• RQ3 운반 노이즈는 지구물리학적 유동 모델에서 속도 및 온도 필드 간의 결합에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비동온성 경우에서 에너지 추정과 초기 데이터에 대한 연속적 의존성은 동온 또는 결정론적 설정과 어떻게 다를까?
• RQ5 비동온성 압력 항은 기존의 스토크라스틱 기본 방정식에서의 분석적 과제를 초과하여 어떤 새로운 분석적 과제를 도입하는가?

주요 결과

• 이토 및 스트라토노비치 표현 모두에서 비동온성 난류 압력을 고려한 스토크라스틱 기본 방정식에 대해 $ H^1 $에서의 전역 적으로 잘 정의됨이 확립되었다.
• 이 작업에서 도출된 에너지 추정은 동온 경우에도 새로운 것으로, 해에 대한 더 강력한 사전 제어를 제공한다.
• 초기 데이터에 대한 연속적 의존성이 증명되었으며, 이는 이전 결과를 넘어서 정규성 및 안정성 분석을 확장한다.
• 온도에 의존하는 난류 압력으로 인해 속도와 온도 간의 더 복잡한 결합이 발생하여 분석적 복잡성이 증가한다.
• 스토크라스틱 최대 정규성과 상세한 $ L^2 $-추정을 사용함으로써 비선형 항과 노이즈 상호작용을 제어할 수 있었으며, 특히 수직 도함수를 포함한 항들에 대해 유리하였다.
• 스트라토노비치 표현이 노이즈의 이차 변동으로 인해 추가된 드리프트 항을 가진 이토 유형 시스템과 동치임이 입증되었으며, 전역 존재성은 유지되었다.