[논문 리뷰] The Stokes complex for Virtual Elements with application to Navier--Stokes flows

L. Beirão da Veiga, David Mora외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 27.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비압축성 스토크스 유동에 적용된 가상요소법(VEM)에 대해 $ C^1 $-연속인 가상요소 공간 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $ 를 도입함으로써 스토크스 복합체 구조를 수립한다. 삼중체 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ 가 정확한 스토크스 복합체를 이룬다는 것을 증명하며, 이는 이산 발산이 0인 속도와 도함수를 통한 계산이 가능한 연산자를 보장한다. 수치 실험을 통해 최적 수렴성과 강건성을 입증하였다.

ABSTRACT

In the present paper, we investigate the underlying Stokes complex structure of the Virtual Element Method for Stokes and Navier--Stokes introduced in previous papers by the same authors, restricting our attention to the two dimensional case. We introduce a Virtual Element space $Φ_h \subset H^2(Ω)$ and prove that the triad $\{Φ_h, V_h, Q_h\}$ (with $V_h$ and $Q_h$ denoting the discrete velocity and pressure spaces) is an exact Stokes complex. Furthermore, we show the computability of the associated differential operators in terms of the adopted degrees of freedom and explore also a different discretization of the convective trilinear form. The theoretical findings are supported by numerical tests.

연구 동기 및 목표

• 스토크스 및 라우아지에르-스토크스 문제에 대한 가상요소법의 배경에 있는 스토크스 복합체 구조를 밝혀내는 것.
• 속도 및 압력 공간과 함께 이산 스토크스 복합체를 완성하는 $ C^1 $-연속인 가상요소 공간 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $ 를 구성하는 것.
• 삼중체 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ 가 정확한 스토크스 복합체를 이룬다는 것을 증명하여 이산 발산이 0인 속도와 안정된 해의 존재를 보장하는 것.
• 도함수를 통한 계산이 가능한 $ \mathrm{curl} $ 수식을 이용해 라우아지에르-스토크스 문제의 이산 수식을 개발하는 것.
• 스토크스 복합체 기반 VEM과 직접적인 $ C^1 $-스트림 함수 수식의 직접적 이산화 방식을 비교하여 조건수와 시스템 크기를 분석하는 것.

제안 방법

• 다각형 메esh에서 $ H^2 $-연속 함수로 이루어진 가상요소 공간 $ \Phi_h $ 를 도입하며, 도함수로는 점 값, 기울기의 모멘트, 라플라스 연산자의 순서 $ k-1 $ 이하의 모멘트를 포함한다.
• 헤시안의 투영과 안정화 항 $ \widetilde{\mathcal{S}}^E $ 를 사용하여 이산 이차형식 $ \widetilde{a}_h(\cdot,\cdot) $ 를 정의하며, 도함수로부터의 계산 가능성을 보장한다.
• 모든 도함수로부터 표현 가능한 $ \Delta\psi_h $, $ \mathrm{curl}\,\psi_h $, $ \nabla\psi_h $ 의 투영을 통한 계산 가능한 삼중형식 $ \widetilde{c}_h(\cdot;\cdot,\cdot) $ 를 구성한다.
• 이산 $ \mathrm{curl} $ 수식을 $ \Phi_h $ 에서 유도하여 원래 방법과 동일한 속도를 얻으며, 전역 압력 복원이 필요하다.
• 비선형 항의 세 번째 이산화 방식을 제안하고, 이 변형에 대해 수렴 결과를 확장한다.
• 스토크스 복합체 기반 VEM과 직접적인 $ C^1 $-VEM을 통한 스트림 함수 수식의 이산화 방식을 비교하여 조건수와 시스템 크기를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토크스 및 라우아지에르-스토크스 문제에 대한 가상요소법이 이산 스토크스 복합체 구조로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 스토크스 복합체를 이루는 삼중체 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ 를 구성할 수 있는 $ C^1 $-연속인 가상요소 공간 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $ 를 만들 수 있는가?
• RQ3 복합체 내의 미분 연산자(예: 라플라스 연산자, 컬)들이 가상요소 공간의 도함수로부터 계산 가능한가?
• RQ4 결과로 도출된 이산 $ \mathrm{curl} $ 수식은 원래 속도 해를 유지하면서 전역 시스템을 통한 압력 복원을 가능하게 하는가?
• RQ5 스토크스 복합체 보존 VEM의 성능은 조건수와 시스템 크기 측면에서 직접적인 $ C^1 $-스트림 함수 이산화 방식과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 삼중체 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ 는 정확한 스토크스 복합체를 이룬다. 이는 이산 발산이 0인 속도와 유일한 해의 존재를 보장한다.
• 이산 이차형식과 삼중형식은 도함수로부터만 계산 가능하며, 안정화 항 $ \widetilde{\mathcal{S}}^E $ 는 메쉬 크기와 무관한 안정성 한계를 만족한다.
• 라우아지에르-스토크스 문제의 이산 $ \mathrm{curl} $ 수식은 원래 VEM과 동일한 속도를 제공하며, 압력은 전역 직사각형 시스템을 통해 복원된다.
• 수치 실험을 통해 속도와 압력에 대해 최적 수렴률을 확인하였으며, 조건수와 시스템 크기는 표준 FEM과 비교해 유사하거나 더 우수하다.
• 제안된 비선형 항의 대안적 이산화 방식은 수렴 성질을 유지하며 고차 정확도를 확보하는 데 유의미한 대안을 제공한다.
• 특히 고차 요소에서, 스토크스 복합체 기반 VEM은 직접적 $ C^1 $-스트림 함수 이산화 방식보다 조건수와 시스템 크기 측면에서 뛰어난 성능을 보였다.