[논문 리뷰] The Strange World of Non-amenable Symmetries

Erhard Seiler|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 12.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩트이고 비가소성 있는 대칭군을 가진 비선형 시그마 모델—예를 들어 하이퍼볼릭 타겟 공간을 가진 것들—을 조사하여, 비가소성으로 인해 메르민-바거 정리가 성립하지 않음에도 불구하고, 1차원 및 2차원에서도 자발적 대칭 깨짐(SPB)이 발생함을 보여준다. 주요 기여는 정규화 가능하지 않은 기본 상태가 없음에도 불구하고 유일한 유니터리이고 연속적인 기본 상태 표현이 존재한다는 점이며, 오스터발더-슈뢰딩거 재구성에 의해 비가산 힐베르트 공간이 나타나며, 2차원 연속체 극한에 대한 열린 질문이 존재한다.

ABSTRACT

Nonlinear sigma models with non-compact target space and non-amen-able symmetry group were introduced long ago in the study of disordered electron systems. They also occur in dimensionally reduced quantum gravity; recently they have been considered in the context of the AdS/CFT correspondence. These models show spontaneous symmetry breaking in {\it any} dimension, even one and two (superficially in contradiction with the Mermin-Wagner theorem) as a consequence of the non-amenability of their symmetry group. The low-dimensional models show other peculiarities: invariant observables remain dependent on boundary conditions in the thermodynamic limit and the Osterwalder-Schrader reconstruction yields a non-separable Hilbert space. The ground state space, however, under quite general conditions, carries a unique unitary and continuous representation. The existence of a continuum limit in 2D is an open question: while the perturbative Renormalization Group suggests triviality, other arguments hint at the existence of a conformally invariant continuum limit at least for suitable observables. This talk gives an overview of the work done during the last several years in collaboration first of all with Max Niedermaier, some of it also with Peter Weisz and Tony Duncan.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트이고 비가소성 대칭군을 가진 양자장론의 거동을 이해하는 것—특히 표준 정리(예: 메르핀-바거 정리)가 적용되지 않는 저차원에서의 거동.
• 하이퍼볼릭 공간에서의 양자역학과 이러한 대칭군을 가진 격자 모델에서의 기본 상태 및 불변 관측량의 구조 분석.
• 오스터발더-슈뢰딩거 재구성의 결과로서 힐베르트 공간의 가산성과 2D 모델에서 연속체 극한 존재 가능성에 미치는 영향 조사.
• 2D 하이퍼볼릭 시그마 모델에서 적분형 양자장론의 결과가 적분형 자유도 또는 등각 대칭성에 대한 갈등을 보일 수 있는지 평가.
• 특히 적분형 이론과 형식적 등각장론 계산 간의 갈등을 고려할 때, 비자명한 연속체 극한이 존재하는지 여부 결정.

제안 방법

• 하이퍼볼릭 공간 $\mathbb{H}_N = SO_o(1,N)/SO_o(N)$ 에서의 양자역학을 라플라스-베르트라미 연산자와 메플러-폭크 변환을 사용하여 스펙트럼 성질과 일반화된 기본 상태를 연구.
• 유럽식 경로적분에 대해 오스터발더-슈뢰딩거 재구성 절차를 적용하여, 연속 스펙트럼과 정규화 불가능한 기본 상태로 인해 비가산 힐베르트 공간이 유도됨을 보여줌.
• 유한 체적 격자 모델에서 워드 항등식과 상관 함수를 사용하여 자발적 대칭 깨짐을 탐지함—1D 및 2D에서도 성립.
• 일주위 1차 순서의 적분형 양자장론 분석을 적용하여, 모델이 리치 흐름에 따라 흐름을 이룹니다. 이는 적분형 점근적 자유도를 시사함.
• 비가소성 군의 비유니터리 표현을 가진 양자장론에 대한 공리적 제약 조건을 고려하여, 대칭이 유지된 표준 장 다중체의 존재를 배제함.
• 하바가 제시한 형식적 계산을 평가하여, $\beta > 1/(3\pi)$ 인 경우 중심 전하 $c=1$ 을 가진 등각장론이 존재할 수 있음을 시사하며, 이는 비가우시안 고정점의 가능성을 암시함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트이고 비가소성 대칭군을 가진 비선형 시그마 모델에서 메르핀-바거 정리가 적용되지 않음에도 불구하고, 1차원 및 2차원에서 자발적 대칭 깨짐이 발생하는가?
• RQ2 연속 스펙트럼과 정규화 불가능한 기본 상태를 가진 모델에서 오스터발더-슈뢰딩거 재구성 절차는 힐베르트 공간의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 적분형 양자장론 분석과 형식적 등각장론 계산 간의 갈등을 고려할 때, 하이퍼볼릭 타겟 공간을 가진 2D 비선형 시그마 모델에서 비자명한 연속체 극한이 존재할 수 있는가?
• RQ4 이 모델들에서 질량 간극이 없는 표준 논증이 실패하는 이유는 무엇이며, 저에너지 스펙트럼의 성격은 어떠한가?
• RQ5 비가소성 대칭이 유지된 유니터리 양자장론을 구성하는 것은 가능한가, 아니면 대칭은 항상 자발적으로 깨져야 하는가?

주요 결과

• 비가소성 대칭군으로 인해 메르핀-바거 정리가 무효화되므로, 1차원 및 2차원을 포함한 모든 차원에서 자발적 대칭 깨짐이 발생한다.
• 정규화 가능하지 않은 기본 상태 벡터가 없음에도 불구하고, 기본 상태 공간은 고유한 유니터리이고 연속적인 표현을 지닌다.
• 오스터발더-슈뢰딩거 재구성은 연속 스펙트럼과 정규화 불가능한 일반화된 기본 상태로 인해 비가산 힐베르트 공간을 유도한다.
• 적분형 양자장론 분석은 적분형 점근적 자유도를 시사하며, 이는 연속체 극한에서 모델이 비자명하게 될 수 있음을 암시하지만, 장거리에서의 곡률 민감도에 대한 기대와 갈등을 보인다.
• 하바의 형식적 계산은 $\beta > 1/(3\pi)$ 인 경우 중심 전하 $c=1$ 을 가진 등각 대칭 연속체 극한이 존재할 수 있음을 시사하며, 이는 비가우시안 고정점의 존재 가능성을 암시한다.
• 공리적 고려사항은 비유니터리 표현을 가지는 대칭군에 대해 양자장 다중체의 존재를 배제하며, 이는 SSB가 반드시 발생하거나 또는 일부 장들만 양자장론을 형성할 수 있음을 암시한다.