[논문 리뷰] The Strength of Predicative Abstraction

Sean Walsh|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 15.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 예측가능한 철학적 원리의 유사체를 제시하며, 예측가능한 철학적 원리와 전역 선택을 포함하는 체계가 Kripke-Platek 집합론(KPN∗)의 변종을 해석할 수 있음을 보여줌으로써, 프레게의 정리의 예측가능한 유사체를 수립한다. 이는 또한 KPN∗가 두 번째 순서 산술의 예측가능한 부분계수 Σ₁¹-AC를 해석한다는 점에서 의미가 있다. 이 결과는 바울리-포르티 역설과 연결된 철학적 원리를 사용하여 바이어널-폰 노이만의 기초 공리에 대한 상대적 일관성 증명을 모방함으로써 달성된다.

ABSTRACT

Frege’s theorem says that second-order Peano arithmetic is interpretable in Hume’s Principle and full impredicative comprehension. Hume’s Principle is one example of an abstraction principle, while another paradigmatic example is Basic Law V from Frege’s Grundgesetze. In this paper we study the strength of abstraction principles in the presence of predicative restrictions on the comprehension schema, and in particular we study a predicative Fregean theory which contains (i) all the abstraction principles whose equivalence relations can be proven to be equivalence relations in a weak back-ground second-order logic, as well as (ii) a form of global choice (cf. Definition 2.7). Our main theorem shows that this predicative Fregean theory interprets a variant KPN∗ of Kripke-Platek set theory KP (cf. Theorem 3.2). Since this theory KPN ∗ in turn inter-prets the predicative subsystem Σ11-AC of second-order Peano arithmetic, we obtain a predicative analogue of Frege’s theorem. The proof of this result proceeds by using the set-theoretic resources of the Grundgesetze to emulate the definitions featuring in the von Neumann relative consistency proof of the axiom of foundation (cf. Definition 3.1), and by using an abstraction principle related to the Burali-Forti paradox to reduce the complexity of testing for well-foundedness.

연구 동기 및 목표

• 예측가능한 형태로 제한된 철학적 원리의 강도를 조사하는 것.
• 약한 두 번째 순서 논리에서 등장하는 등가관계가 증명 가능한 등가관계인 모든 철학적 원리를 포함하는 예측가능한 프레게 이론을 개발하는 것.
• 체계의 해석 능력을 강화하기 위해 전역 선택의 형태를 통합하는 것.
• 예측가능한 제약 조건 하에서 철학적 원리와 기초 집합론 간의 연결 고리를 수립하는 것.
• 철학적 원리와 두 번째 순서 산술의 일부분 간의 연결 고리를 맺는 예측가능한 프레게의 정리의 유사체를 제공하는 것.

제안 방법

• 약한 배경 두 번째 순서 논리에서 등장하는 등가관계가 증명 가능한 등가관계인 모든 철학적 원리를 포함하는 예측가능한 프레게 이론을 구축하는 것.
• 체계의 표현력과 해석 능력을 향상시키기 위해 전역 선택의 형태를 도입하는 것.
• 프레게의 Grundgesetze에서 유도된 집합론적 구성 방법을 사용하여 바이어널-폰 노이만의 기초 공리에 대한 상대적 일관성 증명을 모방하는 것.
• 바울리-포르티 역설과 연결된 철학적 원리를 사용하여 잘 서식된 성질을 검증하는 복잡도를 줄이는 것.
• 결과적으로 도출된 체계가 KPN∗의 변종을 해석함을 보여주는 것.
• KPN∗가 두 번째 순서 페아노 산술의 예측가능한 부분계수 Σ₁¹-AC를 해석함을 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예측가능한 형태로 제한된 철학적 원리의 해석 능력은 어떠한가?
• RQ2 전역 선택을 포함하는 예측가능한 프레게 이론이 기초 집합론을 해석할 수 있는가?
• RQ3 어떻게 예측가능한 철학적 원리 기반 체계 내에서 바이어널-폰 노이만의 잘 서식된 성질의 구성 방식을 모방할 수 있는가?
• RQ4 바울리-포르티 역설과 관련된 철학적 원리는 어떻게 잘 서식된 성질 검증의 복잡도를 단순화하는가?
• RQ5 결과적으로 도출된 체계는 프레게의 정리의 예측가능한 유사체를 제공하는가?

주요 결과

• 예측가능한 프레게 이론은 Kripke-Platek 집합론의 변종인 KPN∗를 해석한다.
• KPN∗는 두 번째 순서 페아노 산술의 예측가능한 부분계수 Σ₁¹-AC를 해석한다.
• 이 증명은 프레게의 Grundgesetze 스타일의 집합론적 자원을 사용하여 바이어널-폰 노이만의 기초 공리에 대한 상대적 일관성 증명을 모방함으로써 이루어진다.
• 바울리-포르티 역설과 연결된 철학적 원리는 잘 서식된 성질 검증의 복잡도를 줄이는 데 사용된다.
• 결과적으로 예측가능한 프레게의 정리의 유사체가 수립되며, 이는 예측가능한 제약 조건 하에서 철학적 원리의 적용 범위를 확장한다.
• 체계는 예측가능한 철학적 원리에 기반하면서도 일관성을 유지하면서도 상당한 해석 능력을 확보한다.