[논문 리뷰] The strong Fatou property of risk measures

Shengzhong Chen, Niushan Gao외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 14.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 재배치 불변 공간 위에서 쿼اسي볼록이고 법 불변인 위험 측도의 다각적 표현을 보장하기 위한 연속성 조건으로 강한 패투 성질이 최적임을 규명한다. 이는 이러한 함수들이 강한 패투 성질을 갖는 것과 σ(X, L∞)-하향연속성일 때이고, 또한 법 불변 또는 여유 불변 위험 측도에 대해 이 성질이 인프-컨볼루션 하에 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we explore several Fatou-type properties of risk measures. The paper continues to reveal that the strong Fatou property, which was introduced in [17], seems to be most suitable to ensure nice dual representations of risk measures. Our main result asserts that every quasiconvex law-invariant functional on a rearrangement invariant space $\mathcal{X}$ with the strong Fatou property is $σ(\mathcal{X},L^\infty)$ lower semicontinuous and that the converse is true on a wide range of rearrangement invariant spaces. We also study inf-convolutions of law-invariant or surplus-invariant risk measures that preserve the (strong) Fatou property.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 재배치 불변(r.i.) 공간 위에서 강한 패투 성질이 위험 측도의 다각적 표현을 보장하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.
• 클래식한 패투 성질이 오르리치 공간, 특히 LΦ에서 다각적 표현을 보장하지 못하는 문제를 해결하기 위해.
• 재배치 불변 공간 위의 쿼اسي볼록이고 법 불변인 함수에 대해 강한 패투 성질과 σ(X, L∞)-하향연속성 사이의 이중성 관계를 설정하기 위해.
• 법 불변 또는 여유 불변 위험 측도에 대해 인프-컨볼루션 하에 강한 패투 성질이 유지되는지 조사하기 위해.
• 재배치 불변 공간의 맥락에서 강한 패투 성질, 노름 하향연속성, 기타 패투 유형 성질 간의 관계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 고정된 확률 공간 (Ω, F, P) 위에서 재배치 불변(r.i.) 함수 공간 X 내에서 작업하며, 오르리치 공간과 Lp 공간을 포함한다.
• 표준 패투 성질, 슈퍼 패투 성질, 강한 패투 성질이라는 세 가지 패투 유형 성질을 정의하고 비교하며, 후자는 노름 유계성과 거의 확실히 수렴하는 조건을 요구한다.
• 핵심 기술 도구로는 위상적 쌍대 공간 L∞과 σ(X, L∞)-위상의 사용이며, 이는 이중 기반의 특성화를 가능하게 한다.
• 증명은 쌍대 오르리치 공간 LΨ의 心 HΨ의 성질과 순서 연속 노름의 사용에 기반한다.
• 저자들은 반바나흐 등장 정리와 순서 이상의 성질을 이용하여 노름 동치성과 하향연속성을 확립한다.
• 기능적 해석의 결과, 특히 페헬-모레오 이중성(Fechel-Moreau duality)을 적용하여 강한 패투 성질과 σ(X, L∞)-하향연속성 간의 연결을 맺는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재배치 불변 공간 X 위의 쿼اسي볼록이고 법 불변인 함수에 대해, 강한 패투 성질은 σ(X, L∞)-하향연속성의 충분조건이자 필요조건인가?
• RQ2 오르리치 공간에서 강한 패투 성질은 노름 하향연속성과 기타 패투 유형 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 법 불변 또는 여유 불변 위험 측도에 대해 인프-컨볼루션 하에 강한 패투 성질이 유지되는가?
• RQ4 L∞ 공간과 그 쌍대공간은 강한 패투 성질을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 모델 공간 X에 대해 어떤 조건에서 강한 패투 성질이 다른 형태의 하향연속성과 일치하거나 이를 유도하는가?

주요 결과

• 재배치 불변 공간 X 위의 모든 쿼اسي볼록이고 법 불변인 함수는 강한 패투 성질을 갖는다. 이는 σ(X, L∞)-하향연속성과 동치이다.
• 넓은 범위의 재배치 불변 공간에서, σ(X, L∞)-하향연속성은 쿼اسي볼록이고 법 불변인 함수에 대해 강한 패투 성질을 함의한다.
• 오르리치 공간 LΦ 위의 쿼اسي볼록 함수에 대해 강한 패투 성질은 HΨ가 쌍대 공간 LΨ의 心일 때 σ(X, HΨ)-하향연속성과 동치이다.
• 오르리치 공간 위의 법 불변 함수에 대해 강한 패투 성질은 σ(X, LΨ)-하향연속성, σ(X, HΨ)-하향연속성, σ(X, L∞)-하향연속성과 동치이다.
• 법 불변 또는 여유 불변 위험 측도에 대해 인프-컨볼루션 하에 강한 패투 성질은 유지된다.
• 성질 (⋆) — 즉, X의 순서 연속 부분의 쌍대공간이 L∞이 아니라는 것 — 은 비자명한 노름 유계이자 거의 확실히 0이 되는 수열이 존재하고 기대값이 0이 아니라는 것과 동치이며, 강한 패투 성질이 σ(X, L∞)-하향연속성으로 이어지기 위해 필수적이다.