[논문 리뷰] The strong renewal theorem with infinite mean via local large deviations

R. A. Doney|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 24.

Random Matrices and Applications참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 평균이 무한대인 점근적으로 안정적인 복귀 과정에서 강한 복귀정리(SRT)가 성립하기 위한 필수 및 필요조건을 $\alpha \in (0,1)$ 에 대해 규명한다. 고전적 로컬 중심극한정리의 오차항을 개선한 정밀한 국소 대규모 편차 추정을 유도함으로써, 저자들은 SRT가 성립함과 동시에 단계 분포의 꼬리 조건 두 개를 만족할 때에만 성립함을 증명한다: $\lim_{x\to\infty}x\overline{F}(x)p(x)=0$ 및 $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{F}(x)\sum_{1}^{\delta x}\frac{p(x-w)}{w\overline{F}(w)^2}=0$, 이는 가르시아와 람베르티(1963)에 의해 제기된 오랜 미해결 문제를 완전히 해결한다.

ABSTRACT

A necessary and sufficient condition is established for an asymptotically stable renewal process to satisfy the strong renewal theorem. This result is valid for all alpha in (0, 1), thus completing a result for alpha in (1/2, 1) which was proved in the 1963 paper of Garsia and Lamperti [6]. This paper is superseded by arXiv:1612.07635.

연구 동기 및 목표

• 무한 평균을 가진 복귀과정에서 강한 복귀정리(SRT)가 성립하기 위한 필수 및 필요조건을 규명하는 데 목적이 있다. 특히 $\\alpha \in (0,1)$ 에 대해 성립한다.
• 기존에 알려진 경우인 $\alpha \in (1/2,1)$ 를 초월하여, 전체 범위 $\alpha \in (0,1)$ 에서 SRT 결과를 확장하는 데 목적이 있다.
• 단계 분포의 꼬리 행동에 따라 SRT를 정밀하게 특성화하는 데 목적이 있다. 특히 $p(x)$ 의 감쇠 속도와 $\overline{F}(x)$ 의 꼬리와의 상호작용을 중심으로 한다.
• 일반화된 복귀함수와 점근적으로 안정적인 서브오르도레이터로 SRT를 일반화하여, 이 방법이 관련된 확률과정 전반에 걸쳐 강건함을 보여주는 데 목적이 있다.

제안 방법

• 스테이블 분포의 영역에 속하는 랜덤 워크에 대해 $\alpha \in (0,1) \cup (1,2)$ 인 경우에 대해, 고전적 고네드코의 국소 중심극한정리의 오차항을 개선한 새로운 국소 대규모 편차 추정(정리 1)을 도출한다.
• 큰 점프의 기여를 제어하기 위해 $\mu = \frac{\log \Lambda}{\gamma x}$ 를 적절히 선택한 지수 기울임을 사용한다. 여기서 $\Lambda = (n\overline{F}(x))^{-1}$ 이다.
• 확률 $P(S_n = x)$ 를 큰 점프가 있는 경로($X_n^* \leq \gamma x$)와 없는 경로($X_n^* > \gamma x$)로 분해하고, 꼬리 추정을 통해 큰 점프 성분을 근사한다.
• 포터의 추정을 적용하여 $\overline{F}(a_n \theta)/\overline{F}(a_n)$ 을 거듭제곱 법칙 행동과 연결함으로써, $P(S_n = x)$ 의 감쇠 속도를 정밀하게 제어한다.
• 유도된 조건 하에 복귀 질량 함수 $g(x) = \sum_{n=0}^\infty P(S_n = x)$ 를 분석하고, $x\overline{F}(x)g(x) \to g(\alpha, \rho)$ 임을 보여, SRT를 확립한다.
• 비격자 서브오르도레이터로의 방법 확장을 위해 국소 중심극한정리와 꼬리 분석을 레비 측도에 적응시켜, 복귀 측도 $G_{\Delta}(x)$ 에 대해 유사한 SRT 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스테이블 법칙의 영역에 속하고 평균이 무한대인 복귀과정에서 강한 복귀정리(SRT)가 성립하기 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가? 특히 $\alpha \in (0,1)$ 인 경우에 대해.
• RQ2 추가적인 모멘트나 정규 변화 가정 없이, 무거운 꼬리 분포에 대해 고네드코의 국소 중심극한정리의 오차항을 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 복귀함수와 서브오르도레이터에 대해, 표준 복귀과정과 동일한 꼬리 조건을 만족할 경우 SRT가 성립하는가?
• RQ4 격자 랜덤 워크에 사용된 방법을 일반적인 비주기적 랜덤 워크에 대해 무한 평균 영역에 적용하여 SRT를 증명할 수 있는가?
• RQ5 꼬리 비율 $p(x)/\overline{F}(x)$ 와 $\overline{F}(w)^{-2}$ 를 포함한 이중 합이 SRT의 타당성 결정에 어떤 정확한 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $\alpha \in (1/2,1)$ 에 대해 SRT는 조건 없이 성립함을 확인하였으며, 이는 가르시아와 람베르티(1963)의 결과를 확인한다. 그러나 $\alpha \in (0,1/2]$ 인 경우 추가적인 꼬리 조건이 필요하다.
• SRT는 $\lim_{x\to\infty}x\overline{F}(x)p(x) = 0$ 및 $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{F}(x)\sum_{1}^{\delta x}\frac{p(x-w)}{w\overline{F}(w)^2} = 0$ 이 성립할 때에만 성립하며, 이는 $\alpha \in (0,1/2]$ 에 대해 필수 및 필요조건이다.
• SRT의 점근적 상수는 $g(\alpha,\rho) = \alpha E(Y^{-\alpha}: Y > 0)$ 로 주어지며, 여기서 $Y$ 는 인덱스 $\alpha$ 와 정규성 파라미터 $\rho$ 를 가진 스테이블 랜덤 변수이다.
• $\alpha = 1/2$ 인 경우, $\overline{F}(x) \sim (cx)^{-1/2}$ 이고 $\lim_{x\to\infty}L(x) > 0$ 이면 추가 조건 없이 SRT가 성립하지만, $L(x) \to 0$ 이면 실패함을 보여, 날카로운 경계임을 밝힌다.
• 가중치 $b(A(x)) = B(x)$ 를 가진 일반화된 복귀함수 $g_b(x)$ 에도 방법이 확장되며, $\alpha(2+\beta) > 1$ 이거나, $\alpha(2+\beta) \leq 1$ 이고 두 꼬리 조건(29) 및 (30)을 만족할 경우 SRT가 성립한다.
• 점근적으로 안정적인 서브오르도레이터에 대해서도 동일한 꼬리 조건을 사용하여 SRT를 확립하였다: $\lim_{x\to\infty}x\overline{\Pi}(x)\Pi((x,x+\Delta]) = 0$ 및 $\lim_{\delta\to 0}\limsup_{x\to\infty}x\overline{\Pi}(x)\int_1^{\delta x}\frac{\Pi(x-dw)}{w\overline{\Pi}(w)^2} = 0$ ($\alpha \in (0,1/2]$ 에 대해), 그리고 $\alpha > 1/2$ 인 경우 상수 $\Delta g(\alpha,\rho)$ 를 제공한다.