[논문 리뷰] The strong topology of $\omega$-plurisubharmonic functions

Antonio Trusiani|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 03.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 강한 위상(약한 위상의 세밀화로, 상대 에너지 함수의 연속성을 보장함)을 통해, 주어진 특이성을 갖는 ω-다중하향성 함수의 공간과 상대 에너지가 유한한 비다중하향성 측도의 공간 사이에 강력한 위상동형을 수립한다. 몽주-암페르 연산자는 이러한 위상에서 위상동형임을 증명한다. 주요 결과는 밀도가 L^p에 균일 유계이면서(p > 1), 특이성이 전순서로 배열된 측도를 갖는 복소 몽주-암페르 방정식의 해가 강력 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

On $(X,\omega)$ compact K\"ahler manifold, given a model type envelope $\psi\in PSH(X,\omega)$ (i.e. a singularity type) we prove that the Monge-Amp\`ere operator is an homeomorphism between the set of $\psi$-relative finite energy potentials and the set of $\psi$-relative energy measures endowed with their strong topologies given as the coarsest refinements of the weak topologies such that the relative energies become continuous. Moreover, given a totally ordered family $\mathcal{A}$ of model type envelopes with positive total mass representing different singularities types, the sets $X_{\mathcal{A}}, Y_{\mathcal{A}}$ given respectively as the union of all $\psi$-relative finite energy potentials and of all $\psi$-relative finite energy measures varying $\psi\in\overline{\mathcal{A}}$ have two natural strong topologies which extends the strong topologies on each component of the unions. We show that the Monge-Amp\`ere operator produces an homeomorphism between $X_{\mathcal{A}}$ and $Y_{\mathcal{A}}$. As an application we also prove the strong stability of a sequence of solutions of prescribed complex Monge-Amp\`ere equations when the measures have uniformly $L^{p}$-bounded densities for $p>1$ and the prescribed singularities are totally ordered.

연구 동기 및 목표

• 모델형 에너지 함수의 전순서 집합에 상응하는 주어진 특이성을 갖는 ω-다중하향성 함수와 측도의 공간 간 몽주-암페르 연산자의 위상동형을 확장한다.
• 전순서 집합으로 인덱싱된 이러한 공간의 합집합에 대해 강력 위상을 정의하고 연구한다.
• 밀도가 균일하게 L^p 유계이면서 특이성이 전순서로 배열된 조건 하에서 복소 몽주-암페르 방정식의 해에 대한 강력 안정성을 확립한다.
• 유한 에너지 잠재함수와 측도 사이에 알려진 위상동형을 더 넓은 전순서 특이성 집합으로 일반화한다.

제안 방법

• ψ-상대 유한 에너지 잠재함수 공간에 대해, ψ-상대 에너지 함수가 연속이 되도록 보장하는 약한 위상의 가장 빈도가 낮은 세밀화로 강력 위상을 도입한다.
• 쌍대 에너지 함수 E∗_ψ의 연속성에 의해, ψ-상대 유한 에너지 측도 공간에 대응하는 강력 위상을 정의한다.
• 전순서 집합 A ⊂ M+에 대해 E1(X, ω, ψ)의 합집합인 XA에 대해 완비 거리수인 dA를 구성하며, 각 성분에 대해 d를 확장한다.
• Finsler 거리수 |f|1,ϕ = ∫_X |f|MAω(ϕ)와 관련된 거리수 d(u,v) = E(u)+E(v)−2E(Pω(u,v))를 통해 거리수 위상 위상을 정의한다.
• 상대 에너지 이론과 상대 몽주-암페르 연산자를 적용하여, 이러한 위상에서 MAω의 연속성과 전단사성을 증명한다.
• 콤���성, 약수렴, 용적 수렴의 고려를 통해 L^p 유계 밀도 조건 하에서 안정성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델형 에너지 함수의 개별 집합을 초월하여, 더 큰 ω-다중하향성 함수와 측도의 공간 간 몽주-암페르 연산자가 위상동형으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 특이성이 전순서 집합으로 인덱싱된 잠재함수와 측도 공간의 합집합에 대한 자연스러운 강력 위상은 무엇인가?
• RQ3 합집합에 대한 강력 위상은 각 성분 공간의 개별 강력 위상과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 주어진 특이성을 갖는 복소 몽주-암페르 방정식의 해 수열이 강력 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 밀도가 균일하게 L^p에 유계이면서(p > 1), 특이성이 전순서로 배열된 경우 해에 대한 강력 안정성 결과가 존재하는가?

주요 결과

• 몽주-암페르 연산자 MAω는 (X_A,norm, d_A)와 (Y_A, strong) 사이의 위상동형이다. 여기서 X_A는 전순서 집합 A ⊂ M+에 대해 ψ-상대 유한 에너지 잠재함수의 합집합이며, Y_A는 ψ-상대 유한 에너지 측도의 합집합이다.
• XA에 대한 강력 위상은 ψ-상대 에너지 함수 E_ψ가 연속이 되도록 보장하는 약한 위상의 가장 빈도가 낮은 세밀화이며, dA에 의해 유도되는 거리수 위상과 일치한다.
• YA에 대한 강력 위상은 쌍대 에너지 함수 E∗_ψ가 연속이 되도록 보장하는 약한 위상의 가장 빈도가 낮은 세밀화이다.
• fk가 L^p(p > 1)에 균일 유계이면서 ψk → ψ in A인 조건 하에서 MAω(uk) = fkω^n을 만족하는 해 수열 (uk)은 X_A에 속하는 u로 강력 수렴한다. 이때 MAω(u) = fω^n이다.
• 강력 수렴에 의해 용적 수렴이 유도됨을 제6.3정리에 의해 보여진다.
• 이 결과는 L^p 유계 조건 하에서 알려진 강력 안정성 결과를 일반화하며, 특이성의 전순서 집합으로의 위상동형 확장을 가능하게 하여, 복소 몽주-암페르 방정식의 안정성 이론에서 핵심 문제를 해결한다.