[논문 리뷰] The structure and labelled enumeration of K_{3,3}-subdivision-free projective-planar graphs

Andrei Gagarin, Gilbert Labelle외 1명|arXiv (Cornell University)|2004. 06. 08.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 실수 평면에 임베딩 가능한 2-연결, 비평면, $K_{3,3}$-하위구조를 갖지 않는 그래프에 대해 고유한 분해 정리를 수립하며, 이는 $K_5$의 간선을 2-연결 평면 그래프에서 온 두극자 네트워크로 치환함으로써 형성된다는 것을 보여준다. 주요 기여는 이 클래스의 레이블이 부여된 그래프에 대한 생성함수 기반의 수세기 방법과 간선 수에 대한 경계, 그리고 시리즈-패러럴 네트워크를 이용한 홈오모르피컬리 불가분 변형의 수세기이다.

ABSTRACT

We consider the class F of 2-connected non-planar K_{3,3}-subdivision-free graphs that are embeddable in the projective plane. We show that these graphs admit a unique decomposition as a graph K_5 (the core) where the edges are replaced by two-pole networks constructed from 2-connected planar graphs. A method to enumerate these graphs in the labelled case is described. Moreover, we enumerate the homeomorphically irreducible graphs in F and homeomorphically irreducible 2-connected planar graphs. Particular use is made of two-pole directed series-parallel networks. We also show that the number m of edges of graphs in F with n vertices satisfies the bound m <=3n-6, for n >= 6.

연구 동기 및 목표

• 2-연결, 비평면, $K_{3,3}$-하위구조를 갖지 않는 그래프가 프로젝티브 평면에 임베딩 가능한 구조를 규명하는 것.
• 네트워크 치환과 생성함수를 이용한 레이블이 부여된 그래프의 수세기 방법을 개발하는 것.
• 이러한 그래프에서 간선 수의 상한을 도출하여 평면 그래프와 유사한 형태로 제시하는 것.
• 시리즈-패러럴 네트워크를 이용해 이 클래스 내의 홈오모르피컬리 불가분 그래프를 수세기하는 것.
• 이 틀을 연결된 그래프로 확장하고 渐近적 행동 및 레이블이 없는 수세기 탐색을 위한 것.

제안 방법

• 구조 정리는 이러한 그래프의 클래스 $\mathcal{F}$ 가 2-연결 평면 그래프에서 온 두극자 네트워크로 $K_5$의 간선을 치환한 것과 동형임을 보여주며, $\mathcal{F} = K_5 \uparrow \mathcal{N}_P$ 로 표현된다.
• 레이블이 부여된 수세기는 혼합 지수 생성함수 $\mathcal{G}(x,y) = \sum_{n,m} g_{n,m} y^m \frac{x^n}{n!}$ 를 사용하여 수행되며, 여기서 $g_{n,m}$ 는 $n$ 개의 정점과 $m$ 개의 간선을 갖는 그래프의 수를 의미한다.
• 간선 치환 연산은 함수 방정식 $(\mathcal{G} \uparrow \mathcal{N})(x,y) = \mathcal{G}(x, \mathcal{N}(x,y))$ 를 통해 형식화되어 생성함수의 순환적 계산을 가능하게 한다.
• 시리즈-패러럴 네트워크가 구조물로 사용되며, $\mathrm{Leg}(x,y) = 2yx + y^2x^2$ 와 같은 연산자들을 통해 네트워크 조합과 다리 추가를 모델링하는 종류 이론적 접근이 사용된다.
• 새로운 반복적 체계가 도입되어 $B(x,y) = H(x, R(x,y))$ 형태의 함수 방정식을 해결함으로써 홈오모르피컬리 불가분 그래프의 생성함수를 계산할 수 있게 되었다.
• 네트워크 클래스 $\mathcal{N}_\ell$ 는 $\mathcal{N}_\ell = (1 + \mathrm{Leg}) \left( \sum_{k \geq 0} (y\mathrm{Leg})^k \right) \mathcal{N}_{H_P}$ 로 정의되며, 이는 네트워크의 극의 차수 2 이상을 허용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-연결, 비평면, $K_{3,3}$-하위구조를 갖지 않는 그래프가 프로젝티브 평면에 임베딩 가능한 고유한 구조적 분해는 무엇인가?
• RQ2 레이블이 부여된 경우 이러한 그래프는 생성함수를 통해 어떻게 수세기할 수 있는가?
• RQ3 이러한 그래프에서 간선 수의 최대값은 얼마이며, 평면 그래프와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이 클래스 내의 홈오모르피컬리 불가분 그래프는 어떻게 수세기할 수 있는가?
• RQ5 이 틀은 연결된 그래프로 확장되고 레이블이 없는 수세기까지 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 2-연결, 비평면, $K_{3,3}$-자유 프로젝티브 평면 그래프의 클래스 $\mathcal{F}$ 는 고유하게 $K_5$의 간선이 2-연결 평면 그래프에서 온 두극자 네트워크로 치환된 것으로 표현되며, 즉 $\mathcal{F} = K_5 \uparrow \mathcal{N}_P$ 이다.
• 클래스 $\mathcal{F}$ 에 속하는 그래프의 간선 수 $m$ 은 $n \geq 6$ 일 때 $m \leq 3n - 6$ 를 만족하며, 이는 평면 그래프의 간선 경계와 유사하다.
• 클래스 $\mathcal{F}$ 에 속하는 홈오모르피컬리 불가분 그래프의 생성함수 $H_{\mathcal{F}}(x,y)$ 는 $H_{\mathcal{F}}(x,y) = \frac{x^5 (\mathcal{N}_\ell(x,y) + y)^{10}}{5!}$ 로 주어지며, 여기서 $\mathcal{N}_\ell(x,y)$ 는 $\mathcal{N}_{H_P}(x,y)$ 와 다리 연산자에서 유도된다.
• $\mathcal{N}_\ell(x,y)$ 는 극의 차수가 최소 4인 네트워크의 생성함수이며, $\mathcal{N}_\ell(x,y) = \frac{1 + \mathrm{Leg}(x,y)}{1 - y\,\mathrm{Leg}(x,y)} \mathcal{N}_{H_P}(x,y)$ 로 주어지며, $\mathrm{Leg}(x,y) = 2yx + y^2x^2$ 이다.
• 레이블이 부여된 연결된 비평면 $K_{3,3}$-자유 프로젝티브 평면 그래프의 수는 $n=5$ 에서부터 $n=20$ 까지 제공되며, 각각 $n=5,6,7,8$ 에서는 1, 150, 16800, 1809360 이다.
• 점근적 분석 결과, 레이블이 부여된 비평면 $K_{3,3}$-자유 프로젝티브 평면 그래프는 그 평면 대응체와 동일한 성장 상수를 가지며, 이는 유사한 점근적 행동을 나타낸다.