[논문 리뷰] The structure of corings: Induction functors, Maschke-type theorem, and Frobenius and Galois-type properties

Tomasz Brzeziński|arXiv (Cornell University)|2000. 02. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 코링에 대한 범주론적 프레임워크를 개발하며, 유도 함자, 분리 가능성, 프로베누스/갈로아 유형 성질에 초점을 맞춘다. 코링이 갈로아이면서 기저 환을 코인variant 부분환에 대해 충실하게 평탄한 경우에만, 코모듈에서 모듈로의 忘각 함자가 분리 가능하거나 프로베누스임을 보여주는 조건을 수립한다. 갈로아 코링을 정의하고, 유도 함자가 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

Given a ring $A$ and an $A$-coring $\cC$ we study when the forgetful functor from the category of right $\cC$-comodules to the category of right $A$-modules and its right adjoint $-\otimes_A\cC$ are separable. We then proceed to study when the induction functor $-\otimes_A\cC$ is also the left adjoint of the forgetful functor. This question is closely related to the problem when $A o {}_A{ m Hom}(\cC,A)$ is a Frobenius extension. We introduce the notion of a Galois coring and analyse when the tensor functor over the subring of $A$ fixed under the coaction of $\cC$ is an equivalence. We also comment on possible dualisation of the notion of a coring.

연구 동기 및 목표

• A-코링 위의 오른쪽 코모듈의 범주에서 오른쪽 A-모듈의 범주로의 忘각 함자가 언제 분리 가능한가를 조사하는 것.
• 유도 함자 $-\otimes_A \mathcal{C}$가 忘각 함자에 대해 왼쪽 및 오른쪽 수반임, 즉 프로베누스 함자임을 만족하는 조건을 결정하는 것.
• 코인바리언트에서의 유도 함자가 범주 동치가 되는 갈로아 코링을 정의하고 분석하는 것.
• A-코링의 쌍대 구조인 C-알제브로이드를 통해 이론을 쌍대화하고, 코모듈 함자 및 쌍대 분리 가능성 조건과 같은 쌍대 구조로 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 코모듈에서 모듈로의 忘각 함자 $U: \mathbf{M}^\mathcal{C} \to \mathbf{M}_A$와 그 오른쪽 수반 함자인 $-\otimes_A \mathcal{C}$를 사용하여 분리 가능성과 프로베누스 성질을 연구한다.
• 코링 $\mathcal{C}$의 코분리 가능성 개념을 적용하여 코모듈에 대한 마쉬케 유형 정리를 도출한다.
• A가 오른쪽 $\mathcal{C}$-코모듈일 때, A 내의 코인바리언트 부분환 $B$를 통해 갈로아 코링의 개념을 도입한다.
• A가 충실하게 평탄한 왼쪽 B-모듈이면서 $\mathcal{C}$가 갈로아일 때, $-\otimes_B A$가 동치임을 보여준다.
• A-코링의 쌍대 구조로 C-알제브로이드를 도입하고, 분리 가능성 및 프로베누스 조건의 쌍대 형태를 수립한다.
• 코작용과 코곱에 대해 슈에들러 표기법을 사용하며, 이중 모듈 사상과 코이델 조건을 활용하여 불변량과 코불변량을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코모듈에서 모듈로의 忘각 함자가 언제 분리 가능한가?
• RQ2 유도 함자 $-\otimes_A \mathcal{C}$가 忘각 함자에 대해 왼쪽 및 오른쪽 수반일 조건은 무엇인가?
• RQ3 유도 함자 $-\otimes_B A$가 B-모듈에서 $\mathcal{C}$-코모듈로의 범주 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 코링 이론을 어떻게 C-알제브로이드로 쌍대화할 수 있으며, 분리 가능성 및 프로베누스 성질의 쌍대 형태는 무엇인가?
• RQ5 Frobenius 확장 $A \to {}_A\mathrm{Hom}(\mathcal{C}, A)$와 유도 함자의 프로베누스 성질 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 코모듈에서 모듈로의 忘각 함자 $U: \mathbf{M}^\mathcal{C} \to \mathbf{M}_A$는 코링 $\mathcal{C}$가 코분리 가능할 때이고 그때에만 분리 가능하다.
• 유도 함자 $-\otimes_A \mathcal{C}$는 $A \to {}_A\mathrm{Hom}(\mathcal{C}, A)$가 프로베누스 확장일 때이고 그때에만 프로베누스 함자이다.
• 코링 $\mathcal{C}$는 $B$가 A 내의 코인바리언트 부분환일 때, 표준 사상 $\chi: \mathcal{C} \to A \square_B A$가 동형사상이면 갈로아 코링이다.
• 만약 $\mathcal{C}$가 왼쪽 A-모듈로서 평탄하다면, $-\otimes_B A: \mathbf{M}_B \to \mathbf{M}^\mathcal{C}$는 A가 충실하게 평탄한 왼쪽 B-모듈이면서 $\mathcal{C}$가 갈로아일 때에만 동치이다.
• 범주 $\mathbf{M}_\mathcal{A} \to \mathbf{M}^C$에서 忘각 함자의 쌍대는 함자 $-\square_C \mathcal{A}$이며, 이 함자가 분리 가능할 조건은 $\mathcal{A} \to k$인 사상 $e$가 존재하여 $(e \otimes C) \circ \rho^\mathcal{A} = (C \otimes e) \circ {}^\mathcal{A}\rho$ 및 $e \circ \eta_\mathcal{A} = \epsilon$ 를 만족하는 것이다.
• C-알제브로이드 $\mathcal{A}$에 대해, 갈로아 C-알제브로이드는 $\chi: \mathcal{A} \to C \square_B C$가 동형사상이면서 $\kappa = (\epsilon \square_B \epsilon) \circ \chi$를 만족하는 것으로 정의되며, 여기서 $\kappa$는 비자명한 특성이다.