[논문 리뷰] The structure of Hopf algebras giving Hopf-Galois structures on Quaternionic extensions

Stuart Jonathon Taylor, Paul J. Truman|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 25.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이형군 $Q_8$와 동형인 갈루아 군을 가진 갈루아 확장에서의 모든 호프-갈루아 작용을 분류하며, 특별히 체 $F$의 특성수가 0일 경우, 관련된 호프 대수들이 호프 대수로서로 또는 $F$-대수로서 동형인지를 결정한다. 명시적인 웨더번-아르틴 분해를 계산하고, 호프 대수의 $F$-대수적 구조가 관련된 이중수 대수의 동형류에 따라 달라지며, 이 대수의 스플릿 또는 나눗셈 성격에 따라 세 가지의 서로 다른 경우가 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Let $L/F$ be a Galois extension of fields with Galois group isomorphic to the quaternion group of order $ 8 $. We describe all of the Hopf-Galois structures admitted by $ L/F $, and determine which of the Hopf algebras that appear are isomorphic as Hopf algebras. In the case that $ F $ has characteristic zero we also determine which of these Hopf algebras are isomorphic as $ F $-algebras and explicitly compute their Wedderburn-Artin decompositions.

연구 동기 및 목표

• 갈루아 군이 이형군 $Q_8$와 동형인 갈루아 확장 $L/F$에서 허용하는 모든 호프-갈루아 작용을 분류하는 것.
• 이 구조들로부터 유도된 호프 대수가 $F$-호프 대수로서 동형인지 여부를 결정하는 것.
• 체 $F$의 특성수가 0일 경우, 이러한 호프 대수의 웨더번-아르틴 분해를 계산하는 것.
• 특히 행렬 대수와 이중수 대수로의 분해를 통해, 이러한 호프 대수가 $F$-대수로서 동형인 경우를 규명하는 것.

제안 방법

• 그라이터-파라이지 정리에 의해, 저자들은 왼쪽 정규 표현 $\lambda(G)$에 의해 정규화되는 $\operatorname{Perm}(G)$의 정규 부분군 $N$을 통해 호프-갈루아 작용을 분류한다.
• 각 정규 부분군 $N$에 대해, $L[N]$에서 $G$의 작용에 대한 고정 부분대수인 $L[N]^G$로 해당 호프 대수를 구성한다.
• 저자들은 $L[D_{s, ho}]^G$, $L[D_{t, ho}]^G$, $L[D_{st, ho}]^G$에 대한 명시적인 $F$-기저를 계산하며, 이중수 대수와 동형인 4차원 $F$-부분대수를 식별한다.
• 웨더번-아르틴 정리를 적용하여, 각 호프 대수의 행렬 대수와 $F$ 위의 이중수 대수의 곱으로의 분해를 수행하며, 브라우어 군을 이용해 동형류를 비교한다.
• 유도된 이중수 대수의 동형류는 브라우어 군을 통해 분석되며, 특히 $[-1,a]$, $[-1,b]$, $[-1,ab]$의 클래스를 비교한다.
• 예를 들어 $\mathbb{Q}$ 위에서 세 가지 가능한 경우를 모두 보여주는 예를 구성한다: 세 이중수 대수가 모두 스플릿되거나, 정확히 하나만 스플릿되거나, 또는 모두 서로 동형이 아닌 나눗셈 대수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈루아 군이 $Q_8$인 갈루아 확장 $L/F$에서 존재하는 서로 다른 호프-갈루아 작용의 수는 몇 개인가?
• RQ2 이 구조들로부터 유도된 호프 대수가 $F$-호프 대수로서 동형인 경우는 언제인가?
• RQ3 체 $F$의 특성수가 0일 경우, 각 호프 대수 $L[N]^G$의 웨더번-아르틴 분해는 어떻게 되는가?
• RQ4 호프 대수가 $F$-대수로서 동형인 경우는 언제이며, 이는 관련된 이중수 대수의 동형류에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 이 호프 대수의 $F$-대수적 구조의 가능한 동형류는 무엇이며, 이는 체 $F$에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 특정 $Q_8$-확장 $L/F$에서 정확히 다섯 개인 호프-갈루아 작용이 존재하며, 이는 $\operatorname{Perm}(G)$의 정규 부분군 $N$ 다섯 개에 대응한다. 이들은 $\lambda(G)$에 의해 정규화된다.
• 고전적 호프-갈루아 작용은 $N = \rho(G)$에 대응하며, 이는 군 대수 $F[G]$를 주지만, 표준적인 비고전적 작용은 $N = \lambda(G)$로부터 유도된다.
• 남은 세 개의 작용은 각각 $D_{s,\rho}, D_{t,\rho}, D_{st,\rho}$에 대응하며, 이들 각각이 호프 대수 $L[N]^G$를 $F^4 \times (-1,a)_F$, $F^4 \times (-1,b)_F$, $F^4 \times (-1,ab)_F$와 동형으로 주어진다.
• 체 $F$의 특성수가 0일 경우, 각 호프 대수의 $F$-대수적 구조는 웨더번-아르틴 분해에 의해 결정되며, 4차원 부분은 $F^4$이고 나머지 부분은 이중수 대수이다.
• 호프 대수가 $F$-대수로서 동형인 것은 그에 대응하는 이중수 대수가 동형인 경우에 정확히 일어나며, 이는 브라우어 군에서 $(-1,x)_F \cong (-1,y)_F$일 때 성립한다.
• 세 가지의 서로 다른 $F$-대수의 동형류가 발생할 수 있다: 세 이중수 대수가 모두 스플릿되어 $M_2(F)$와 동형인 경우, 정확히 하나만 스플릿되는 경우, 또는 모두 서로 동형이 아닌 나눗셈 대수인 경우로, 이는 $\mathbb{Q}$ 위에서의 예를 통해 확인되었다.