[논문 리뷰] The structure of the group of conjugating automorphisms and the linear representation of the braid groups of some manifolds

В. Г. Бардаков|ArXiv.org|2003. 01. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 자유군 $F_n$ 의 기저 공액션 자기동형사상의 군 $Cb_n$ 에 대해 반직접곱 분해를 수립하여, 이가 자유군과 자유 아벨 군의 중첩된 반직접곱과 동형임을 증명한다. 논문은 $B_4$ 의 Lawrence–Krammer 표현을 이용하여 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 의 충실한 선형 표현을 구성하고, 구면 $S^2$ 과 실수 무한대 평면 $\mathbb{RP}^2$ 위의 브레인드 군 $B_n(S^2)$, $B_3(\mathbb{RP}^2)$ 및 매핑 클래스 군 $M(0,n)$ 의 선형성 문제의 핵심 케이스를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we describe the structure of a group of conjugating automorphisms $C_n$ of free group and prove that this structure is similar to the structure of a braid group $B_n$ with $n>1$ strings. We find the linear representation of group $C_n$. Also we prove that the braid group $B_n(S^2)$ of 2--sphere, mapping class group M(0,n) of the $n$--punctured 2--sphere and the braid group $B_3(P^2)$ of the projective plane are linear. Using result of J. Dyer, E. Formanek, E. Grossman and the faithful linear representation of Lawrence--Krammer of $B_4$ we construct faithful linear representation of the automorphism group $Aut(F_2)$.

연구 동기 및 목표

• 자유군 $F_n$ 의 기저 공액션 자기동형사상의 군 $Cb_n$ 의 대수적 구조를 규명하는 것.
• $P_n$ 의 알려진 구조를 일반화하는 $Cb_n$ 에 대한 반직접곱 분해를 수립하는 것.
• 브레인드 군 $B_n(S^2)$, $B_3(\mathbb{RP}^2)$ 및 매핑 클래스 군 $M(0,n)$ 의 선형성을 증명하는 것.
• Lawrence–Krammer 표현을 이용하여 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 의 충실한 선형 표현을 구성하는 것.
• $Cb_n$ 의 언어적 부분군의 유한 폭 문제와 $\mathrm{IA}(F_n)$ 의 유한 표현 가능성에 대한 열린 질문을 다루는 것.

제안 방법

• $Cb_n$ 을 중첩된 반직접곱 $D_{n-1} \ltimes (D_{n-2} \ltimes (\cdots \ltimes D_1))$ 로 분해하며, 여기서 각 $D_i$ 는 $j=1,\dots,i$ 에 대해 $2i$ 개의 자기동형사상 $\varepsilon_{i+1,j}$ 와 $\varepsilon_{j,i+1}$ 에 의해 생성된다.
• $D_i$ 가 순수 브레인드 군 분해와 일치하는 자유군의 질량 $i$ 와 자유 아벨 군의 질량 $i$ 의 반직접곱임을 식별한다.
• Lawrence–Krammer 표현 $\rho: B_4 \to \mathrm{GL}_6(\mathbb{C})$ 를 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 의 표현을 구성하는 기본 요소로 사용한다.
• $B_4$ 의 자유부분군 위의 작용을 업그레이드하고, 코스레프레젠테이브를 통해 확장함으로써 표현 $\overline{\psi}: \mathrm{Aut}(F_2) \to \mathrm{GL}_{12}(\mathbb{Z}[t^{\pm1}, q^{\pm1}])$ 을 구성한다.
• Dyer, Formanek, 그리고 Grossman 의 결과를 적용하여 표현이 충실함을 보인다.
• $B_4^* \simeq \mathrm{Aut}^+(F_2)$ 가 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 의 인덱스 2 부분군임을 이용하고, 코스에 대한 모노드로미 체계 유사 작용을 통해 전체 군으로 표현을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수 브레인드 군 $P_n$ 의 구조를 일반화하여, 기저 공액션 자기동형사상의 군 $Cb_n$ 이 자유군과 아벨 군의 중첩된 반직접곱과 동형인지 여부?
• RQ2 Lawrence–Krammer 표현을 이용하여 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 의 충실한 선형 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ3 브레인드 군 $B_n(S^2)$ 와 $B_3(\mathbb{RP}^2)$ 는 선형인가? 매핑 클래스 군 $M(0,n)$ 도 선형인가?
• RQ4 $n \geq 2$ 에 대해 $Cb_n$ 이 유한 폭을 갖는 진부분언어적 부분군을 가지지 않는가, 이는 그 대수적 구조가 이를 암시하는가?
• RQ5 $n \geq 3$ 에 대해 $\mathrm{IA}(F_n)$ 는 유한 표현 가능한가, 아니면 무한 표현 길이를 갖는가?

주요 결과

• $Cb_n$ 은 반직접곱 분해 $Cb_n = D_{n-1} \ltimes (D_{n-2} \ltimes (\cdots \ltimes D_1))$ 를 가지며, 각 $D_i$ 는 $2i$ 개의 자기동형사상에 의해 생성되고, 자유군의 질량 $i$ 와 자유 아벨 군의 질량 $i$ 의 반직접곱으로 분해된다.
• 2차원 구면 $S^2$ 의 브레인드 군 $B_n(S^2)$ 는 선형이며, $n$-구멍이 있는 구면의 매핑 클래스 군 $M(0,n)$ 과 실수 무한대 평면 $\mathbb{RP}^2$ 의 브레인드 군 $B_3(\mathbb{RP}^2)$ 도 선형이다.
• Lawrence–Krammer 표현과 $\omega$-작용을 통한 코스 확장을 이용하여, $\mathrm{GL}_{12}(\mathbb{Z}[t^{\pm1}, q^{\pm1}])$ 에서 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 의 충실한 선형 표현을 구성하였다.
• 표현 $\overline{\psi}$ 가 충실함을 보이기 위해, 생성자들의 이미지가 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 의 정의 관계를 만족하고, 핵이 자명함을 검증하였다.
• $n \geq 2$ 에 대해 $Cb_n$ 은 유한 폭을 갖는 진부분언어적 부분군을 가지지 않으며, 이는 Kourovka Notebook 의 추측을 지지한다.
• $B_4$ 의 중심은 Lawrence–Krammer 표현 하에서 스칼라 행렬로 사상되며, $\mu = 1/\sqrt[12]{t^2 q^8}$ 로 정규화하면 표현이 $\mathrm{Aut}^+(F_2)$ 로 확장된다.