[논문 리뷰] The $SU(\infty)$ twisted gradient flow running coupling

Margarita Garcı́a Pérez, Antonio González-Arroyo외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 02.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Twisted Eguchi-Kawai (TEK) 모델과 기울기 흐름을 사용하여 $SU(\infty)$ 격자 양성계 이론에서 비섭동적인 't Hooft 상호작용 상수의 실행을 제안한다. 효과적 크기 매개변수 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$를 활용한 체적 독립성 덕분에, 다양한 $N$에 걸쳐 단계 스케일링 분석을 수행하여 고정된 $\tilde{l}$에서 연속체 극한을 시뮬레이션하였으며, 이로써 두 계층의 섭동 실행을 성공적으로 재현하고 $N=\infty$ 극한과의 일致성을 확인하였다.

ABSTRACT

We measure the running of the $SU(\infty)$ 't Hooft coupling by performing a step scaling analysis of the Twisted Eguchi-Kawai (TEK) model, the SU($N$) gauge theory on a single site lattice with twisted boundary conditions. The computation relies on the conjecture that finite volume effects for SU(N) gauge theories defined on a 4-dimensional twisted torus are controlled by an effective size parameter $ ilde l = l \sqrt{N}$, with $l$ the torus period. We set the scale for the running coupling in terms of $ ilde l$ and use the gradient flow to define a renormalized 't Hooft coupling $λ( ilde l)$. In the TEK model, this idea allows the determination of the running of the coupling through a step scaling procedure that uses the rank of the group as a size parameter. The continuum renormalized coupling constant is extracted in the zero lattice spacing limit, which in the TEK model corresponds to the large $N$ limit taken at fixed value of $λ( ilde l)$. The coupling constant is thus expected to coincide with that of the ordinary pure gauge theory at $N =\infty$. The idea is shown to work and permits us to follow the evolution of the coupling over a wide range of scales. At weak coupling we find a remarkable agreement with the perturbative two-loop formula for the running coupling.

연구 동기 및 목표

• Twisted Eguchi-Kawai (TEK) 모델을 사용하여 $SU(\infty)$ 양성계 이론에서 비섭동적인 't Hooft 상호작용 상수의 실행을 결정하는 것.
• $SU(N)$ 양성계 이론에서 비틀린 토러스 위에서 체적 독립성의 타당성을 시험하는 것. 여기서 유한 체적 효과는 효과적 크기 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$에 의해 지배된다.
• 게이지 군의 랭크 $N$을 크기 매개변수로 사용하여 에너지 스케일을 관통하는 상호작용 상수를 탐색하기 위한 단계 스케일링 절차를 구현하는 것.
• 고정된 $\tilde{l}$에서 $N \to \infty$ 극한에서 연속체 재규격화 상호작용 상수를 추출하여 $N=\infty$ 순수 양성계 이론과의 일致성을 확보하는 것.

제안 방법

• 큰 $N$ 극한에서 $SU(\infty)$를 시뮬레이션하기 위해 $SU(N)$ 격자 양성계 이론의 단일 사이트 형태인 Twisted Eguchi-Kawai (TEK) 모델을 사용한다.
• 효과적 크기 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$로 스케일을 정의하는 양밀스 기울기 흐름을 통해 재규격화된 't Hooft 상호작용 상수 $\lambda(\tilde{l})$를 정의한다.
• $\tilde{l}$를 증가시키기 위해 $N \to s^2N$로 스케일링하면서 $\lambda(\lambda)$를 고정함으로써 비섭동적인 단계 스케일링 절차를 수행한다. 이는 격자 간격 감소를 모방한다.
• 플라켓트 및 대칭 정의의 기울기 흐름 상호작용 상수를 사용하여 결과를 상호 확인하고 정확도를 향상시킨다.
• 접근법에 따라 격자 상호작용 정의의 이론적 보정을 적용하여 이산화 효과를 줄이며, 그 세부 사항은 부록 A에 기술되어 있다.
• 고정된 $\tilde{l}$에서 $N \to \infty$로 갈 때 연속체 극한으로 외삽함으로써, $SU(\infty)$ 이론에 해당하는 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비섭동적인 격자 시뮬레이션에서 $SU(\infty)$ 't Hooft 상호작용 상수는 약한 상호작용 영역에서 기대되는 두 계층 섭동 실행 행동을 잘 따르는가?
• RQ2 비틀린 토러스 위의 $SU(N)$ 양성계 이론에서 효과적 크기 매개변수 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$가 체적 효과를 성공적으로 통제할 수 있는가?
• RQ3 물리적 격자 간격이 아닌 $N$을 크기 매개변수로 사용할 때 TEK 모델에서 단계 스케일링 절차가 유효한가?
• RQ4 고정된 $\tilde{l}$에서 TEK 모델의 연속체 극한이 $N=\infty$ 순수 양성계 이론과 일치하는 상호작용 상수를 제공하는가?

주요 결과

• 비섭동적인 실행 상호작용 상수 $\lambda(\tilde{l})$는 약한 상호작용 영역에서 두 계층 섭동 공식과 놀랄 정도로 잘 일치한다.
• 단계 스케일링 절차를 $N \to s^2N$로 수행함으로써, 다양한 스케일을 관통하는 상호작용 상수의 기대되는 진화를 성공적으로 재현하였다.
• 다른 $N$과 $b$ 매개변수에서 측정된 상호작용 상수 값은 플라켓트 정의와 대칭 정의 모두에서 일관되며, 이는 방법의 강건성을 검증한다.
• 큰 $\tilde{l}$ 영역에서 상호작용 상수는 작은 값으로 안정화되며, $\tilde{l} \approx 1.5$에서 $\lambda(\tilde{l}) \approx 1.5$로 나타나, 기대되는 저에너지 행동과 일치한다.
• 결과는 고정된 $\tilde{l}$에서 큰 $N$ 극한으로 갈 때 $SU(\infty)$ 이론이 순수 양성계 이론과 일치함을 확인하며, 이 설정에서 체적 독립성의 타당성을 뒷받침한다.
• 표 3–5의 수치 데이터는 상호작용 상수가 $\tilde{l}$가 증가함에 따라 매끄럽게 감소하는 것을 보여주며, $SU(\infty)$ 이론의 점점 가까운 자유도 성질을 확인한다.