[논문 리뷰] The sum of the r'th roots of first n natural numbers and new formula for factorial

Snehal M. Shekatkar|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 04.

Advanced Mathematical Theories and Applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 실수 r > 1에 대해 라마누잔의 첫 n개 자연수의 제곱근 합의 공식을 일반화하여 r제곱근으로 확장하며, 리만 적분과 오차 보정 항을 사용한다. 스타링어의 공식과 유사한 새로운 계승수 근사식을 유도하며, 수치적으로 √(2π)로 수렴하는 보정 항을 제공함으로써 스타링어 상수에 대한 새로운 해석적 유도를 제시한다.

ABSTRACT

Using the simple properties of Riemman integrable functions, Ramanujan's formula for sum of the square roots of first n natural numbers has been generalized to include r'th roots where r is any real number greater than 1.As an application we derive formula that gives factorial of positive integer $n$ similar to Stirling's formula.

연구 동기 및 목표

• 실수 r > 1에 대해 라마누잔의 제곱근 합 공식을 r제곱근으로 일반화하는 것.
• 리만 적분과 오차 한계를 사용하여 ∑_{x=1}^n x^{1/r}의 닫힌 형태 근사식을 도출하는 것.
• 유도된 합 공식을 적용하여 스타링어 공식과 유사한 형태의 n!에 대한 새로운 해석적 표현을 얻는 것.
• 보정 항 φ_n(r)의 행동과 그 도함수를 r → ∞일 때 분석하여 스타링어 상수 √(2π)와의 연관성을 밝혀내는 것.

제안 방법

• 구간 [0, n]에서 균일 분할 P = {0, 1, 2, ..., n}을 사용하여 ∫₀ⁿ x^{1/r} dx를 리만 적분으로 근사하는 것.
• 합 ∑_{x=1}^n x^{1/r}를 하한 및 상한 다르부 합의 평균에 보정 항 φ_n(r)을 더한 것으로 표현하며, φ_n(r)는 0에서 1/2 사이에 놓여 있음.
• 핵심 항등식 유도: ∑_{x=1}^n x^{1/r} = (r/(r+1))(n+1)^{(r+1)/r} - (1/2)(n+1)^{1/r} - φ_n(r).
• 이 항등식을 r에 대해 미분하여 ∑ x^{1/r} log x를 포함하는 공식을 도출함으로써 계승수 유도를 가능하게 하는 것.
• r → ∞일 때의 극한을 취하여 log(n!)를 복원하고 잔여 보정 항이 유한한 값 ξ로 수렴함을 보이는 것.
• r → ∞일 때 r² dφ/dr의 극한을 사용하여 n! ≈ (n+1)^{n+1/2} e^{-n-1} e^ξ를 도출하며, 여기서 e^ξ ≈ √(2π)임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라마누잔의 제곱근 합 공식을 임의의 실수 r > 1에 대해 r제곱근으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 합 근사식에서 보정 항 φ_n(r)의 함수적 형태는 무엇이며, 어떻게 유계화되어 있는가?
• RQ3 r → ∞일 때 보정 항 φ_n(r)의 도함수는 어떻게 행동하며, 이는 계승수 상수에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ4 유도된 n! 공식은 스타링어 근사와 일관된 형태로 수렴하는가? 보정 인자는 얼마인가?
• RQ5 r = 1일 때 dφ/dr의 의미는 무엇이며, 이는 1¹·2²·...·nⁿ의 곱에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 합 ∑_{x=1}^n x^{1/r}는 φ_n(r) ∈ [0, 1/2]를 만족하는 보정 항을 포함하여 (r/(r+1))(n+1)^{(r+1)/r} - (1/2)(n+1)^{1/r} - φ_n(r)로 근사된다.
• r → ∞일 때 보정 항 φ_n(r)는 1/2로 수렴하며, 이는 합이 n으로 수렴하는 것과 일치한다.
• 합 항등식을 r에 대해 미분하면 ∑ x^{1/r} log x를 포함하는 공식이 도출되며, 이는 계승수 표현으로 이어진다.
• r → ∞일 때 잔여 보정 항 ξ는 log(n!) ≈ (n + 1/2)log(n+1) - (n+1) + ξ를 만족하며, 여기서 e^ξ ≈ √(2π)이다.
• 유도된 계승수 공식은 n! ≈ (n+1)^{n+1/2} e^{-n-1} e^ξ로, 정확한 스타링어 공식과 매우 유사하다.
• r = 1일 때 도함수 dφ/dr는 수치적으로 매우 작고 무시 가능하므로, 1¹·2²·...·nⁿ의 곱에 대한 공식이 타당함을 검증한다.