[논문 리뷰] The summatory function of the Möbius function in function fields

Byungchul Cha|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 27.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 메르텐스 함수의 성장에 대한 링의 추측의 함수체 버전을 수립하며, 유한체 위의 곡선의 인수에 대한 망골트 함수의 합계 함수에 대한 경계를 도출한다. 선형 독립성 성질이 성립할 경우 경계는 날카로워지며, 보편 초타원곡선의 가로 평균이 무작위 유니터리 심플렉틱 행렬의 특성다항식의 모멘트의 기대값과 점점 더 일치함을 보인다.

ABSTRACT

We study the growth rate of the summatory function of the Möbius function in the context of an algebraic curve over a finite field. Our work shows a strong resemblance to its number field counterpart, which was proved by Ng in 2004. We find an expression for a bound of the summatory function, which becomes sharp when the zeta zeros of the curve satisfy a certain linear independence property. Extending a result of Kowalski in 2008, we prove that most curves in the family of universal hyperelliptic curves satisfy this property. Then, we consider a certain geometric average of such bound in this family, using Katz and Sarnak's reformulation of the equidistribution theorem of Deligne. Lastly, we study an asymptotic behavior of this average as the family gets larger by evaluating the average values of powers of characteristic polynomials of random unitary symplectic matrices.

연구 동기 및 목표

• 메르텐스 함수 $ M(x) $ 의 성장에 대한 링의 확률적 추측의 함수체 버전을 개발하기 위해.
• 유한체 위의 곡선의 유효 인수에 대한 망골트 함수의 합계 함수 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) $ 를 분석하기 위해.
• 제타 함수의 영점의 선형 독립성(LI) 성질 하에서 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) $ 에 대한 날카로운 경계를 수립하기 위해.
• 카츠와 사르낙의 등분포 정리를 이용하여 보편 초타원곡선의 가족에 대해 이 경계의 기하 평균을 계산하기 위해.
• 이 평균의 점근적 행동을 무작위 유니터리 심플렉틱 행렬의 특성다항식의 모멘트의 기대값과 연결하기 위해.

제안 방법

• 유한체 $ \mathbb{F}_q $ 위의 곡선 $ C $ 의 유효 인수 $ D $ 에 대해 망골트 함수 $ \mu_{C/\mathbb{F}_q}(D) $ 를 정의하고, 수체에서의 망골트 함수를 일반화하기 위해.
• 합계 함수 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) = \sum_{\deg D \leq X} \mu_{C/\mathbb{F}_q}(D) $ 를 도입하고, 점근적 경계 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) = O(X^{r-1} q^{X/2}) $ 를 유도하며, 여기서 $ r $ 은 역제타 함수 영점의 최대 차수이다.
• 양의 수 $ B(C/\mathbb{F}_q) = \limsup_{X\to\infty} \frac{M_{C/\mathbb{F}_q}(X)}{q^{(X+1)/2}} $ 를 정의하며, 모든 역영점이 단순할 경우 유한하다.
• 선형 독립성(LI) 성질을 도입: 제타 함수 영점의 각도 $ \theta_j $ 는 $ \mathbb{Q} $ 위에서 선형 독립하며, $ \pi $ 도 포함된다. 여기서 $ \gamma_j = \sqrt{q} e^{i\theta_j} $ 는 역제타 함수 영점이다.
• 카츠와 사르낭의 델리그의 등분포 정리의 재구성에 따라, 곡선의 가족에 대해 $ B(C/\mathbb{F}_q) $ 의 기하 평균을 연구하기 위해.
• 웨일 적분 공식과 데이프트-잇스-크라스코프스키 점근적 분석을 사용하여, 임의의 $ U \in \mathrm{USp}(2N,\mathbb{C}) $ 에 대해 $ |\mathcal{Z}_U(\theta)| $ 의 기대값을 계산함으로써 평균의 점근적 행동을 평가하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체에서 인수에 대한 망골트 함수의 합계 함수에 대한 날카로운 경계는 무엇이며, 언제 달성되는가?
• RQ2 제타 함수 영점의 선형 독립성 성질이 함수체에서 망골트 합계 함수의 성장률에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 보편 초타원곡선의 가족에 대해 경계 $ B(C/\mathbb{F}_q) $ 의 기하 평균은 무엇인가?
• RQ4 이 기하 평균은 임의의 유니터리 심플렉틱 행렬의 특성다항식의 기대값과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 평균의 점근적 행동은 무작위 행렬 이론을 사용하여 계산될 수 있으며, 주요 항은 무엇인가?

주요 결과

• 곡선이 선형 독립성 성질을 만족할 경우, 경계 $ D(C/\mathbb{F}_q) = \frac{1}{q^{1/2}} \sum_{\gamma} \left| \frac{\gamma}{Z_\gamma} \right| $ 는 날카로워진다.
• 코발스키의 결과가 보편 초타원곡선의 가족에서 대부분의 곡선이 선형 독립성 성질을 만족함을 보여 확장된다.
• 기하 평균 $ B(C/\mathbb{F}_q) $ 는 $ \mathrm{USp}(2N,\mathbb{C}) $ 에서의 $ |\mathcal{Z}_U(\theta)| $ 의 기대값 $ \mathcal{I}(N) $ 과 점점 더 일치함을 보인다.
• 점근적 표현식 $ \mathcal{I}(N) $ 은 $ N \to \infty $ 일 때 $ \sqrt{2} G(\frac{1}{2})^2 N^{1/4} \int_0^\pi (\sin\theta)^{1/4} (1 + o(1)) \, d\theta $ 로 유도된다.
• 점근 공식의 오차 항은 $ \theta $ 에 대해 균일하게 수렴하지 않으며, 적분 내의 극한 교환을 정당화하기 위해 정교한 분석이 필요함을 시사한다.
• 기하 평균의 주요 항의 점근적 행동이 $ \sim C N^{1/4} $ 로 나타나며, 여기서 $ C $ 는 바르네스 G-함수를 포함한 상수이다.