[논문 리뷰] The superconformal index of $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ and $SO(N_c)$ SYM as a matrix integral

Antonio Amariti, Marco Fazzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 30.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 36인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 4차원 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ 및 $SO(N_c)$ SYM 이론의 초등방형 지수(Superconformal Index, SCI)를 행렬 모형 접근법을 사용하여 계산한다. 카르디-유사한 극한에서 지수는 3차원 순수 초전도체 이론의 $S^3$ 분할함수에 해당하는 행렬 적분으로 줄어든다. 주요 사鞍점은 각각 $\log 2$ 및 $\log 4$의 예상되는 로그 보정항을 제공하며, 이는 게이지 군의 중심 대칭성과 관련되어 있다. 정확한 평가는 일반화된 웨일 특성 공식을 통해 확인되었다.

ABSTRACT

We study the superconformal index of 4d $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ and $SO(N_c)$ SYM from a matrix model perspective. We focus on the Cardy-like limit of the index. Both in the symplectic and orthogonal case the index is dominated by a saddle point solution which we identify, reducing the calculation to a matrix integral of a pure Chern-Simons theory on the three-sphere. We further compute the subleading logarithmic corrections, which are of the order of the center of the gauge group. In the $USp(2N_c)$ case we also study other subleading saddles of the matrix integral. Finally we discuss the case of the Leigh-Strassler fixed point with $SU(N_c)$ gauge group, and we compute the entropy of the dual black hole from the Legendre transform of the entropy function.

연구 동기 및 목표

• 4차원 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ 및 $SO(N_c)$ SYM 이론의 초등방형 지수를 행렬 모형 접근법을 사용하여 계산한다.
• SCI의 카르디-유사한 극한을 분석하고 주요 사鞍점 구성요소를 규명한다.
• SCI의 고차항 로그 보정항을 계산하며, 이를 게이지 군의 중심 대칭성과 연관시킨다.
• $SO(N_c)$ 및 $USp(2N_c)$에 대해 일반화된 웨일 특성 공식을 사용하여 행렬 적분 결과를 정확하게 평가한다.
• 행렬 모형 결과를 대칭성 방정식(Bethe Ansatz equation) 접근법과 비교하여 대규모 $N_c$ 근사에서의 일致성을 확인한다.

제안 방법

• SCI는 $S^3 \times S^1$ 위에서 국소화를 통해 유도된 게이지 군의 카르탕 토러스 위의 행렬 적분으로 표현된다.
• 카르디-유사한 극한에서, 행렬 적분은 3차원 순수 초전도체 이론의 분할함수에 대응하는 사鞍점 구성요소에 의해 지배된다.
• 식별된 초전도체 이론은 게이지 군이 $USp(2N_c)_{\pm(N_c+1)}$, $SO(2N_c+1)_{\pm(2N_c-1)}$, $SO(2N_c)_{\pm 2(N_c-1)}$이며, 수준은 화학적 포텐셜 제약 조건에 의해 결정된다.
• 일반화된 웨일 특성 공식을 적용하여 $SO(2N_c+1)$ 및 $SO(2N_c)$의 $S^3$ 분할함수를 정확하게 계산한다. 이는 $SO$와 $O$ 게이지 군을 구분하는 $\mathbb{Z}_2$ 인자 포함.
• SCI의 로그의 대규모 $N_c$ 전개에서 주요 및 고차항 항에서 로그 보정항을 추출한다.
• 결과는 대칭성 방정식 접근법에서 알려진 결과와 비교하여 확인되며, 중심 대칭성 및 1형 대칭성의 위반에 기대어진 예측과 일致함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ SYM 이론의 초등방형 지수는 카르디-유사한 극한에서 어떻게 줄어들까?
• RQ2 $SO(N_c)$ 및 $USp(2N_c)$ 게이지 군의 주요 사鞍점 영역에서 SCI를 기술하는 행렬 적분의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 SCI의 고차항 로그 보정항의 기원과 크기는 무엇이며, 게이지 군의 중심 대칭성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 3차원 초전도체 이론의 $S^3$ 분할함수와 4차원 SCI의 행렬 적분 형태는 어떻게 일치하는가?
• RQ5 쌍대 랭크가 0으로 수렴하는 극한에서 $SO(2N_c)$ 분할함수는 왜 $O(2N_c)$에 비해 추가적인 인자 2를 포함하는가?

주요 결과

• 4차원 $\mathcal{N}=4$ $USp(2N_c)$ 및 $SO(N_c)$ SYM 이론의 초등방형 지수는 카르디-유사한 극한에서 3차원 순수 초전도체 이론의 $S^3$ 분할함수로 줄어든다.
• 행렬 적분의 주요 사鞍점은 $USp(2N_c)$의 경우 수준 $k = \pm(N_c+1)$, $SO(2N_c+1)$의 경우 $k = \pm(2N_c-1)$, $SO(2N_c)$의 경우 $k = \pm 2(N_c-1)$인 초전도체 이론에 대응한다.
• SCI의 로그 보정항은 $USp(2N_c)$의 경우 $\log 2$, $SO(2N_c)$의 경우 $\log 4$로 나타나며, 중심 대칭성의 차수와 일致한다.
• 정확한 평가를 통해 $SO(2N_c+1)_{k}$ 및 $SO(2N_c)_{k}$ 분할함수는 각각 $Z^{SO(2N_c+1)_{-\eta(2N_c-1)}}_{S^3} = 2\,e^{\frac{5i\pi\eta N_c}{12}(2N_c+1)+i\pi N_c^2}$ 및 $Z^{SO(2N_c)_{-2\eta(N_c-1)}}_{S^3} = 2\,e^{\frac{5i\pi\eta N_c}{12}(2N_c-1)+i\pi(N_c^2-N_c)}$로 얻어진다.
• 이전에 누락되었던 $SO(2N_c)$ 분할함수의 추가 인자 2는 비가환 $\mathbb{Z}_2$ 대칭성에 기인하며, 일반화된 웨일 특성 공식의 직접 평가를 통해 수정되었다.