[논문 리뷰] The supersingular locus in Siegel modular varieties with Iwahori level structure

Ulrich Goertz, Chia‐Fu Yu|ArXiv.org|2008. 07. 08.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 아이와호리 수준 구조를 가진 시겔 모듈라 곡면에서의 초특이 초곡선의 차원과 기하적 구조를 코트비츠-라포포르 분할과 그 에케다-오르트 분할과의 상호작용을 통해 연구한다. 짝수 $g$에 대해 초특이 초곡선의 차원은 $g^2/2$이며, 그 최고차원 성분들은 $\mathrm{Sp}_{g} \times \mathrm{Sp}_{g}$의 플라그 다양체와 동형이며, 홀수 $g$에 대해서는 $\mathrm{SL}_g$의 플라그 다양체와 동형이며, 정확한 차원 범위가 제시된다.

ABSTRACT

We study moduli spaces of abelian varieties in positive characteristic, more specifically the moduli space of principally polarized abelian varieties on the one hand, and the analogous space with Iwahori type level structure, on the other hand. We investigate the Ekedahl-Oort stratification on the former, the Kottwitz-Rapoport stratification on the latter, and their relationship. In this way, we obtain structural results about the supersingular locus in the case of Iwahori level structure, for instance a formula for its dimension in case $g$ is even.

연구 동기 및 목표

• 아이와호리 수준 구조를 가진 시겔 모듈라 곡면에서의 초특이 초곡선의 차원과 기하적 구조를 규명하는 것.
• 이 맥락에서 코트비츠-라포포르(KR) 분할과 에케다-오르트(EO) 분할 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 모든 초특이 KR 분할이 초특수임을 증명하여 이러한 분할의 기하적 특성화를 제공하는 것.
• p-랭크 0 초곡선의 정확한 차원 공식을 수립하고 이를 초특이 초곡선의 상한으로 사용하는 것.
• g \geq 2일 때 초특이 초곡선이 등차원적이지 않음을 보이며, 최고차원의 기약 성분을 묘사하는 것.

제안 방법

• 아이와호리 수준 구조를 가진 아벨 다양체의 모듈리 공간 $\mathcal{A}_I$ 상에서의 코트비츠-라포포르(KR) 분할을 분석하는 것.
• Ngô와 Genestier의 결과를 활용하여 p-랭크가 KR 분할 상에서 일정함을 증명하고, 각 분할의 p-랭크에 대한 조합적 공식을 적용하는 것.
• 최고차원의 p-랭크 0 분할의 차원을 p-랭크 0 초곡선의 차원과 연결하여 초특이 초곡선의 상한을 제공하는 것.
• 모든 초특이 KR 분할이 초특수임을 증명하기 위해, 초특수 아벨 다양체 간의 프로베니우스 사상과 동형임을 만족하는 기하적 조건을 보이는 것.
• 사상 $\mathbf{i}$를 통한 KR 분할과 에케다-오르트 분할의 비교를 통해 기본 분할의 폐쇄를 플라그 다양체의 닫힌 부분 스킴으로 식별하는 것.
• 식별 $\overline{\mathcal{A}}_{t^\mu} \cong \overline{\mathcal{U}}_{w_\emptyset}$와 분할의 호환성을 이용하여 KR 및 EO 분할 간의 관계를 규명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아이와호리 수준 구조를 가진 아벨 다양체의 모듈리 공간 $\mathcal{A}_I$ 내에서 초특이 초곡선 $\mathcal{S}_I$의 차원은 무엇인가?
• RQ2 $\mathcal{A}_I$ 내 초특이 초곡선의 기약 성분은 어떻게 기하적으로 구성되어 있는가, 특히 짝수와 홀수 $g$에 대해 어떻게 되는가?
• RQ3 모든 초특이 KR 분할은 반드시 초특수인가, 그리고 명시적으로 묘사될 수 있는가?
• RQ4 $\mathcal{A}_I$ 내 p-랭크 0 초곡선의 차원은 무엇이며, 이는 초특이 초곡선을 어떻게 제약하는가?
• RQ5 코트비츠-라포포르와 에케다-오르트 분할은 $\mathcal{A}_I$에서 어떻게 상호작용하는가, 그리고 이는 초특이 초곡선의 기하학에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 짝수 $g$에 대해 초특이 초곡선 $\mathcal{S}_I$의 차원은 정확히 $g^2/2$이다.
• 홀수 $g$에 대해 $\mathcal{S}_I$의 차원은 $g(g-1)/2$와 $(g+1)(g-1)/2$ 사이에 있다.
• g가 짝수일 때, $\mathcal{S}_I$의 최고차원 기약 성분은 모든 성분이 $k$ 위의 $\mathrm{Sp}_{g} \times \mathrm{Sp}_{g}$의 플라그 다양체와 동형이다.
• g가 홀수일 때, $\mathcal{S}_I$는 각각 차원 $g(g-1)/2$인 $\mathrm{SL}_g$의 플라그 다양체와 동형인 기약 성분을 가진다.
• 모든 초특이 KR 분할은 초특수이며, 이는 [18]의 초록판에서 제안된 추측을 확인한다.
• $\mathcal{A}_I$ 내 p-랭크 0 초곡선의 차원은 $[g^2/2]$이며, 이는 $\dim \mathcal{S}_I$의 상한으로 기능한다.