[논문 리뷰] The support of singular stochastic PDEs

Martin Hairer, Philipp Schönbauer|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 특이성 노이즈에 의해 유도되는 초임계 특이 스토케스틱 PDEs에 대한 일반화된 지지정리(스포츠 정리)를 수립한다. 리노멀라이제이션의 과정에서 발생하는 모순 문제를 해결하기 위해 리노멀라이제이션 군의 부분군 H를 특정하여, 해의 지지가 오직 코셋 g◦H에만 의존함을 규명한다. 주요 결과는, g◦H의 원소들에 의해 리노멀라이제이션된 방정식에서 노이즈를 매끄러운 함수로 대체하여 얻어진 해들의 closure가 지지가 됨을 보여준다. 이는 Φ⁴₃ 측도의 전지지 및 그 랑주반 역학의 지수적 에르고딕성에 응용된다.

ABSTRACT

We obtain a generalisation of the Stroock-Varadhan support theorem for a large class of systems of subcritical singular stochastic PDEs driven by a noise that is either white or approximately self-similar. The main problem that we face is the presence of renormalisation. In particular, it may happen in general that different renormalisation procedures yield solutions with different supports. One of the main steps in our construction is the identification of a subgroup $\mathcal{H}$ of the renormalisation group such that any renormalisation procedure determines a unique coset $g\circ\mathcal{H}$. The support of the solution then only depends on this coset and is obtained by taking the closure of all solutions obtained by replacing the driving noises by smooth functions in the equation that is renormalised by some element of $g\circ\mathcal{H}$. One immediate corollary of our results is that the $Φ^4_3$ measure in finite volume has full support and that the associated Langevin dynamic is exponentially ergodic.

연구 동기 및 목표

• 특이성 또는 약간 자기유사적인 노이즈를 갖는 초임계 특이 스토케스틱 PDEs의 광범위한 클래스에 대해 스토크-바라다한 지지정리를 확장한다.
• 다양한 리노멀라이제이션 절차가 서로 다른 지지를 갖는다는 근본적인 문제를 해결한다.
• 해의 지지가 오직 코셋 g◦H에만 의존하도록 하는 리노멀라이제이션 군의 정규 부분군 H를 규명한다.
• 리노멀라이제이션된 방정식에서 노이즈를 매끄러운 함수로 대체하여 얻어진 해들의 closure로 해의 지지를 특성화한다.
• 유한 체적에서 Φ⁴₃ 측도와 관련된 랑주반 역학에 대해 전지지와 지수적 에르고딕성을 확립한다.

제안 방법

• 특이성을 다루기 위해 정규성 구조 프레임워크를 도입한다.
• 리노멀라이제이션 군의 작용을 정의하고, 코셋 g◦H가 해의 지지를 결정함을 보여주는 정규 부분군 H를 특정한다.
• 나무의 호프 대수에서 이상 J를 분석하여 랜덤 모델에 대한 지지정리를 구성한다.
• 재귀적 위erner 카오스 전개를 사용해 극한에서 지지를 실현하는 이동을 구축한다.
• 매끄러운 노이즈를 갖는 리노멀라이제이션된 방정식을 고정점 추론을 통해 풀어 진짜 해로의 수렴을 보장한다.
• 코셋 g◦H 내의 대표 원소 선택에 관계없이 지지가 불변임을 입증함으로써 리노멀라이제이션의 모호함을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리노멀라이제이션으로 인해 해의 지지에 모호성이 발생하는 특이 SPDEs에 대해 스토크-바라다한 지지정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 리노멀라이제이션 군의 어떤 부분군이 특이 SPDEs의 해 지지를 결정하는가?
• RQ3 리노멀라이제이션된 방정식에서 노이즈를 매끄러운 함수로 대체하여 얻어진 해들의 closure로 해의 지지를 특성화할 수 있는가?
• RQ4 유한 체적에서 Φ⁴₃ 측도는 전지지를 가지는가? 그리고 관련 랑주반 역학은 지수적 에르고딕성을 갖는가?
• RQ5 리노멀라이제이션 상수 간의 제약 조건은 해 공간의 구조와 그 지지에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 특이 SPDE의 해 지지는 리노멀라이제이션 군의 코셋 g◦H에만 의존하며, 특정한 리노멀라이제이션 절차에는 영향을 받지 않는다.
• 지지는 g◦H의 원소에 의해 리노멀라이제이션된 방정식에서 노이즈를 매끄러운 함수로 대체하여 얻어진 모든 해들의 closure로 특성화된다.
• 유한 체적에서 Φ⁴₃ 측도는 연속 함수의 위상에서 전지지를 갖는다.
• Φ⁴₃ 모델의 관련 랑주반 역학은 전지지 결과의 결과로 지수적 에르고딕성을 갖는다.
• 나무의 호프 대수에서 이상 J가 호프 이상임을 입증하여 리노멀라이제이션 제약의 대수적 구조를 뒷받침한다.
• 위erner 카오스와 고정점 추론을 통한 이동 구성은 지지가 약한 수렴에 대해 안정됨을 보장한다.