[논문 리뷰] The symplectic nature of the space of dormant indigenous bundles on algebraic curves

Yasuhiro Wakabayashi|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성 필드 위의 대수적 곡선에서 일반적인 침잠 곡선의 코탄제ント 스택과 침잠 불가능한 배럴의 모듈리 스택 사이에 표준적인 심플렉틱 동형사상을 수립한다. 이 동형사는 심플렉틱 구조를 보존하며, 복소기하학에서 카와이와 다른 이론가들이 이룩한 고전 결과를 일반화하며, 침잠 불가능한 배럴의 모듈리 스택 위에 프로베니우스-고정된 양자화를 구성하는 데 기여한다.

ABSTRACT

We study the symplectic nature of the moduli stack classifying dormant curves over a field $K$ of positive characteristic, i.e., proper hyperbolic curves over $K$ equipped with a dormant indigenous bundle. The central objects of the present paper are the following two Deligne-Mumford stacks. One is the cotangent bundle ${^\circledcirc T^{\vee ^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ of the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{M}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ classifying ordinary dormant curves over $K$ of genus $g$. The other is the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ classifying ordinary dormant curves over $K$ equipped with an indigenous bundle. These Deligne-Mumford stacks admit canonical symplectic structures respectively. The main result of the present paper asserts that a canonical isomorphism ${^\circledcirc T^{\vee ^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}} ightarrow {^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$ preserves the symplectic structure. This result may be thought of as a positive characteristic analogue of the works of S. Kawai (in the paper entitled "The symplectic nature of the space of projective connections on Riemann surfaces"), P. Arés-Gastesi, I. Biswas, and B. Loustau. Finally, as its application, we construct a Frobenius-constant quantization on the moduli stack ${^\circledcirc \mathfrak{S}^{^\mathrm{Zzz...}}_{g,K}}$.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 침잠 불가능한 배럴의 모듈리 스택의 심플렉틱 기하학을 조사한다.
• 일반적인 침잠 곡선에 배럴을 갖춘 모듈리 스택에 표준적인 심플렉틱 구조를 수립한다.
• 일반적인 침잠 곡선의 코탄제ント 스택에서 이러한 배럴의 모듈리 스택으로 가는 자연스러운 사상이 심플렉틱 동형사상임을 증명한다.
• 이 심플렉틱 동형사를 사용하여 침잠 불가능한 배럴의 모듈리 스택 위에 프로베니우스-고정된 양자화를 구성한다.
• 고전적인 심플렉틱 결과, 특히 리만 곡면 위의 프로젝티브 구조와 테이히뮐러 공간의 심플렉틱 기하학에 대한 양의 특성에서의 대응을 제공한다.

제안 방법

• 특성 0이 아닌 체 K 위에서 종수 g인 일반적인 침잠 곡선을 분류하는 모듈리 스택 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ 를 정의한다.
• 이 모듈리 스택의 코탄제ント 스택 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}T^{ ext{ extdollar}∓ ext{ extsc{Zzz...}}}_{g,K}$ 를 구성하고 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한다.
• 일반적인 침잠 곡선에 배럴을 갖춘 것을 분류하는 모듈리 스택 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ 를 정의하고 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한다.
• 디레인-멈포드 스택으로서의 표준적인 동형사상 $\Psi_{g,K}: {{ }^{ ext{ extcircledcirc}}}T^{ ext{ extdollar}∓ ext{ extsc{Zzz...}}}_{g,K} \xrightarrow{\sim} {{ }^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ 를 수립한다.
• 이 동형사상이 심플렉틱 구조를 보존함을 증명한다. 즉, 이는 심플렉틱 동형사상이다.
• 심플렉틱 동형사를 사용하여 코탄제ント 스택에서 침잠 불가능한 배럴의 모듈리 스택으로 제한된 구조와 프로베니우스-고정된 양자화를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 특성에서 배럴을 갖춘 일반적인 침잠 곡선의 모듈리 스택에 표준적인 심플렉틱 구조가 존재하는가?
• RQ2 일반적인 침잠 곡선의 코탄제ント 스택에서 이러한 배럴의 모듈리 스택으로 가는 자연스러운 사상이 심플렉틱 구조를 보존하는가?
• RQ3 이 두 스택 사이의 심플렉틱 동형사를 사용하여 침잠 불가능한 배럴의 모듈리 스택 위에 프로베니우스-고정된 양자화를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 구성은 리만 곡면 위의 프로젝티브 구조의 고전적인 심플렉틱 기하학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 심플렉틱 프레임워크에서 $p$-곡률과 $p$-진 테이히뮐러 이론의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 배럴을 갖춘 일반적인 침잠 곡선의 모듈리 스택 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ 는 표준적인 심플렉틱 구조를 갖는다.
• 일반적인 침잠 곡선의 코탄제ント 스택 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}T^{ ext{ extdollar}∓ ext{ extsc{Zzz...}}}_{g,K}$ 역시 표준적인 심플렉틱 구조를 갖는다.
• 표준적인 동형사상 $\Psi_{g,K}: {{ }^{ ext{ extcircledcirc}}}T^{ ext{ extdollar}∓ ext{ extsc{Zzz...}}}_{g,K} \xrightarrow{\sim} {{ }^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ 가 딜랑-멈포드 스택으로 존재한다.
• 이 동형사상 $\Psi_{g,K}$ 는 심플렉틱 구조를 보존하므로, 심플렉틱 동형사상이다.
• 심플렉틱 동형사를 통해 코탄제ント 스택에서 침잠 불가능한 배럴의 모듈리 스택으로 제한된 구조와 프로베니우스-고정된 양자화를 이전할 수 있다.
• 결과적으로, 모듈리 스택 ${{}^{ ext{ extcircledcirc}}}Τ^{Σ}_{g,K}$ 는 표준적인 프로베니우스-고정된 양자화를 갖는다.