[논문 리뷰] The Symplectic Structure of General Relativity in the Double-Null (2+2) Formalism

Richard J. Epp|arXiv (Cornell University)|1995. 11. 22.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 2인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 시공간이 스피너 2-표면으로의 2-파라미터 분할을 갖는 이중-공백 (2+2) 형식에서 일반 상대성 이론의 심플렉틱 구조를 유도한다. 시공간은 시공간적 2-표면으로 분할되며, 두 개의 물리적 자유도는 그 2-표면의 공백 정규 벡터의 비틀림에 의해 암묵적으로 포함된다. 특성 초기치 문제를 통해 이 비틀림 기반 변수들과 표준 적응 2-메트릭(편균) 변수들 사이의 캐논ical 변환을 수립한다.

ABSTRACT

In the (2+2) formulation of general relativity spacetime is foliated by a two-parameter family of spacelike 2-surfaces (instead of the more usual one-parameter family of spacelike 3-surfaces). In a partially gauge-fixed setting (double-null gauge), I write down the symplectic structure of general relativity in terms of intrinsic and extrinsic quantities associated with these 2-surfaces. This leads to an identification of the reduced phase space degrees of freedom. In particular, I show that the two physical degrees of freedom of general relativity are naturally encoded in a quantity closely related to the twist of the pair of null normals to the 2-surfaces. By considering the characteristic initial-value problem I establish a canonical transformation between these and the more usually quoted conformal 2-metric (or shear) degrees of freedom. (This paper is based on a talk given at the Fifth Midwest Relativity Conference, Milwaukee, USA.)

연구 동기 및 목표

• 이중-공백 (2+2) 형식을 사용하여 일반 상대성 이론의 심플렉틱 구조를 시공간적 2-표면의 이중-파라미터 분할을 통해 기술하는 것.
• 부분적으로 게이지 고정된 이중-공백 설정에서 단순화된 위상공간 자유도를 식별하는 것.
• 일반 상대성 이론의 두 개의 물리적 자유도가 2-표면의 공백 정규 벡터의 비틀림에 자연스럽게 포함됨을 보여주는 것.
• 비틀림 기반 변수들과 전통적인 적응 2-메트릭(편균) 자유도 사이의 캐논ical 변환을 수립하는 것.
• 일반 상대성 이론에서 특성 초기치 문제를 위한 기하학적이고 캐논ical 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 시공간을 3-표면 대신 시공간적 2-표면의 이중-파라미터 가닥으로 분할하는 (2+2) 형식을 채택한다.
• 디피오모르피즘 자유도의 일부를 고정하기 위해 이중-공백 게이지 조건을 도입하여 심플렉틱 구조를 단순화한다.
• 2-표면과 관련된 내재적 및 외재적 기하 양(예: 유도 메트릭과 제2 기본형)을 통해 심플렉틱 구조를 표현한다.
• 2-표면의 공백 정규 벡터의 비틀림을 통해 물리적 자유도를 식별한다.
• 특성 초기치 문제를 이용하여 비틀림 기반 변수들과 표준 적응 2-메트릭(편균) 변수들 사이의 관계를 설정한다.
• 비틀림 변수와 편균 변수 사이의 캐논ical 변환을 유도하여 위상공간 기술에서의 등가성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론의 심플렉틱 구조는 어떻게 이중-공백 (2+2) 형식에서 기술될 수 있는가?
• RQ2 이 형식에서 단순화된 위상공간 자유도는 무엇이며, 기하학적으로 어떻게 해석될 수 있는가?
• RQ3 공백 정규 벡터의 비틀림은 중력의 물리적 자유도와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 비틀림 기반 변수들과 전통적인 적응 2-메트릭(편균) 변수들 사이에 캐논ical 변환이 수립될 수 있는가?
• RQ5 특성 초기치 문제의 접근 방식은 이 프레임워크에서 물리적 자유도를 식별하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 일반 상대성 이론의 두 개의 물리적 자유도는 이중-공백 형식에서 2-표면의 공백 정규 벡터 쌍의 비틀림에 자연스럽게 포함되어 있다.
• 이중-공백 게이지 조건 하에서 심플렉틱 구조는 2-표면의 내재적 및 외재적 기하 데이터로 완전히 표현된다.
• 비틀림 기반 변수들과 표준 적응 2-메트릭(편균) 변수들 사이에 캐논ical 변환이 수립되어 두 가지 다른 위상공간 기술을 연결한다.
• 특성 초기치 문제의 접근은 시스템의 진화와 캐논ical 변수 식별을 위한 일관된 프레임워크를 제공한다.
• 이 형식은 중력 자유도의 기하학적으로 명확한 식별을 가능하게 하며, 공백 기하학의 역할을 강조한다.
• 결과는 (2+2) 형식이 캐논ical 중력 이론에 대해 일관성을 가지며, 일반 상대성 이론의 위상공간 구조에 대해 새로운 시각을 제공한다.